Question

20．已知平面向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$，$\overrightarrow{c}$滿足|$\overrightarrow{a}$|=2，|$\overrightarrow$|=1，$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=-1，$＜\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c}$，$\overrightarrow-\overrightarrow{c}$＞=$\frac{π}{3}$，則|$\overrightarrow{c}$|的最大值為（　�。�

• A． $\frac{2\sqrt{21}}{3}$
• B． $\frac{\sqrt{21}}{3}$
• C． $\sqrt{26}$
• D． 2$\sqrt{26}$

Answer 1

分析 由于平面向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$，滿足|$\overrightarrow{a}$|=2，|$\overrightarrow$|=1，$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=-1，利用向量的夾角公式可得＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$＞=$\frac{2π}{3}$．
由于$＜\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c}$，$\overrightarrow-\overrightarrow{c}$＞=$\frac{π}{3}$，可得點(diǎn)C在△OAB的外接圓的弦AB所對的優(yōu)弧上，因此可得|$\overrightarrow{c}$|的最大值為△OAB的外接圓的直徑．

解答 解設(shè)$\overrightarrow{OA}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow$，$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{c}$．
平面向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$，滿足|$\overrightarrow{a}$|=2，|$\overrightarrow$|=1，$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=-1，
cos＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$＞=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow}{|\overrightarrow{a}|•|\overrightarrow|}$=$\frac{-1}{2×1}$=-$\frac{1}{2}$，
＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$＞=$\frac{2π}{3}$．
由$＜\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c}$，$\overrightarrow-\overrightarrow{c}$＞=$\frac{π}{3}$，
可得點(diǎn)C在△OAB的外接圓的弦AB所對的優(yōu)弧上，如圖所示．
因此|$\overrightarrow{c}$|的最大值為△OAB的外接圓的直徑．
由|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|=$\sqrt{{\overrightarrow{a}}^{2}+{\overrightarrow}^{2}-2\overrightarrow{a}•\overrightarrow}$=$\sqrt{4+1-2×（-1）}$=$\sqrt{7}$．
由正弦定理可得：△OAB的外接圓的直徑2R=$\frac{|\overrightarrow{a}-\overrightarrow|}{sin\frac{2π}{3}}$=$\frac{\sqrt{7}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=$\frac{2\sqrt{21}}{3}$．
故選：A．

點(diǎn)評 本題考查了向量的夾角公式、三角形法則、數(shù)形結(jié)合的思想方法、正弦定理等基礎(chǔ)知識與基本技能方法，考查了推理能力，屬于中檔題．