【題目】已知函數(shù).

（1）求的單調(diào)區(qū)間；

（2）若的圖象與軸有三個交點，求實數(shù)的取值范圍.

【答案】（1）單調(diào)遞增區(qū)間是；單調(diào)遞減區(qū)間是；（2）

【解析】

（1）優(yōu)先確定定義域，利用導(dǎo)數(shù)，函數(shù)單調(diào)遞增，，函數(shù)單調(diào)遞減，求得單調(diào)區(qū)間；

（2）利用轉(zhuǎn)化思想將要求轉(zhuǎn)化為函數(shù)與函數(shù)的圖象有三個不同交點，進而應(yīng)位于函數(shù)的兩個極值之間，再利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的極值即可求得答案.

（1）因為函數(shù)，則定義域為R，

且

令，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增；

令或，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減；

故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是；單調(diào)遞減區(qū)間是.

（2）條件中的圖象與軸有三個交點，等價于有三個不同的根，進而等價于函數(shù)與函數(shù)的圖象有三個不同交點，

因為，且定義域為R，

令，求得或3

所以有

x

-1

3

+

0

-

0

+

極大值

極小值

所以函數(shù)在處取得極大值，為；在處取得極小值，為，

因為函數(shù)與函數(shù)的圖象有三個不同交點，則應(yīng)位于函數(shù)的兩個極值之間，則

故實數(shù)的取值范圍為

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（Ⅱ）若0＜x1＜x2且|g（x1）|=|g（x2）|，求4x1+x2的最小值；

（Ⅲ）定義在I上的函數(shù)F（x），如果滿足：對任意x∈I，總存在常數(shù)M＞0，都有-M≤F（x）≤M成立，則稱函數(shù)F（x）是I上的有界函數(shù)，其中M為函數(shù)F（x）的上界．若函數(shù)h（x）=，當(dāng)m≠0時，探求函數(shù)h（x）在x∈[0，1]上是否存在上界M，若存在，求出M的取值范圍，若不存在，請說明理由．

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