Question

已知函數有如下性質：如果常數a＞0，那么該函數在上是減函數，在上是增函數，
（1）如果函數的值域為[6，+∞），求b的值；
（2）研究函數（常數c＞0）在定義域內的單調性，并說明理由；
（3）對函數和（常數a＞0）作出推廣，使它們都是你所推廣的函數的特例，研究推廣后的函數的單調性（只須寫出結論，不必證明），并求函數（n是正整數）在區(qū)間上的最大值和最小值（利用你的研究結論）

Answer 1

解：（1）由所給函數性質知，
當x＞0時，x=時函數取最小值2；
所以對于函數，當x=時取得最小值2，
所以，
∴b=log₂9；
（2）設，則，
由條件知在時為單調增函數，時為單調遞減函數，
而t=x²在（0，+∞）為單調增函數，在（-∞，0）上為單調減函數，
所以由復合函數單調性知在均單調遞增，
解得，
即的單調增區(qū)間為；
當均單調遞減，
解得，
即函數的單調減區(qū)間為。
（3）由函數的性質將這種類型的函數推廣如下：
①當n為偶數時（n＞0），函數的單調增區(qū)間為，單調減區(qū)間為；
②當n為奇數時（n＞0）函數的單調增區(qū)間為，單調減區(qū)間為；
對于，
而函數上為減函數，在[1，2]上為增函數，
∴當x=1時，的最小值為時，的最大值，
所以F(x)在x=1時，取最小值為F(1)=2ⁿ+2ⁿ=2ⁿ⁺¹，
當x=2和時，
F(x)的最大值為F(2)=。