Question

已知函數(shù)，
（1）用函數(shù)單調性定義證明：f（x）在（-1，+∞）是增函數(shù)；
（2）試求在區(qū)間[1，2]上的最大值與最小值．

Answer 1

解：（1）任取x₁，x₂∈（-1，+∞），且x₁＜x₂，
則
∵x₁，x₂∈（-1，+∞），且x₁＜x₂，
∴x₁+1＞0，x₂+1＞0，x₁-x₂＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
∴f（x₁）＜f（x₂）
∴f（x）為（-1，+∞）上的增函數(shù)．
（2）令t=2^x，則t∈[2，4]，
由（1）可知在[2，4]上為增函數(shù)，
則，
．
分析：（1）任取x₁，x₂∈（-1，+∞），且x₁＜x₂，討論f（x₁）-f（x₂）的符號，進而根據(jù)函數(shù)單調性的定義可得答案．
（2）令t=2^x，則t∈[2，4]，根據(jù)（1）的定義，分析出函數(shù)在[2，4]的單調性，進而可得函數(shù)的最值．
點評：本題考查的知識點是函數(shù)單調性的性質，函數(shù)單調性的證明與應用，其中熟練掌握定義法證明函數(shù)單調性的方法和步驟是解答的關鍵．