Question

已知橢圓

x2

4

+

y2

3

=1，圓x²+y²=4．直線y=2x與橢圓交于點A，過A作橢圓的切線交圓于M，N兩點（M在N的左側(cè)），則|MF₁|•|NF₂|=

3

．

Answer 1

分析：橢圓方程與直線y=2x聯(lián)解，可得它們在第一象限的交點為A（

12 19

，

48 19

）．直線MN與橢圓

x2

4

+

y2

3

=1相切于A點，利用根的判別式算出切線方程為y=-

3

8

x+

57

4

，再將切線方程與圓x²+y²=4消去y得關(guān)于x的一元二次方程：

73

64

x²-

3 57

16

x-

7

16

=0．最后利用根與系數(shù)的關(guān)系和兩點的距離公式加以計算，化簡可得|MF₁|•|NF₂|的值．

解答：解：由

x2 4 + y2 3 =1 y=2x

，解得x²=

12

19

，y²=

48

19

．
直線y=2x與橢圓交于點A，設(shè)A為第一象限的交點，如圖所示
則A（

12 19

，

48 19

），
設(shè)橢圓經(jīng)過A點的切線為：y-

48 19

=k（x-

12 19

），
與橢圓

x2

4

+

y2

3

=1聯(lián)解，消去y得
（3+4k²）x²-8

12 19

（k²+2k）x+

48

19

（k+2）²-12=0．
由△=64×

12

19

（k²+2k）²-4（3+4k²）[

48

19

（k+2）²-12]=0，
解得k=-

3

8

．
∴切線方程為y-

48 19

=-

3

8

（x-

12 19

），即y=-

3

8

x+

57

4

由

x 2+y 2=4 y=- 3 8 x+ 57 4

消去y，得

73

64

x²-

3 57

16

x-

7

16

=0．
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），可得x₁+x₂=

12 57

73

，x₁x₂=-

28

73

．
∴結(jié)合x₁＜x₂，得x₂-x₁=

(x 1+x 2)2-4x1x2

=

128

73

．
∵F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0），
∴（|MF₁|•|NF₂|）²=[（x₁+1）²+y₁²]•[（x₂-1）²+y₂²]
=[（x₁²+y₁²）+2x₁+1][（x₂²+y₂²）-2x₁+1]=（5+2x₁）（5-2x₂）
=25-10（x₂-x₁）-4x₁x₂=25-10×

128

73

+4×

28

73

=9．
因此|MF₁|•|NF₂|=3．
故答案為：3

點評：本題著重考查了橢圓的標準方程與簡單幾何性質(zhì)、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系、直線與圓的方程和兩點的距離公式等知識，同時考查了轉(zhuǎn)化化歸與函數(shù)方程的數(shù)學思想，考查了邏輯推理能力和計算能力，屬于中檔題．