Question

數(shù)列{a_n}各項(xiàng)均為正數(shù)，S_n為其前n項(xiàng)和，a₁=-1，對于n∈N⁺．總有a_n²，2S_n，a_n+1²成等比數(shù)列．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)a_n；
（2）若數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n=2a_n-b，求證：b_n=2-

1

2n-1

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列遞推式,數(shù)列的應(yīng)用

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）根據(jù)a_n²，2S，a_n+1²成等比數(shù)列結(jié)合a_n＞0得到2S_n=a_na_n+1，由此得到a_n+1-a_n-1=2．說明數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)均構(gòu)成等差數(shù)列，得到數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為1公差為1的等差數(shù)列．則數(shù)列的通項(xiàng)公式可求；
（2）把{a_n}的通項(xiàng)公式代入T_n=2a_n-b_n，整理后構(gòu)造等比數(shù)列{b_n-2}，求出其通項(xiàng)公式后得答案．

解答： 解：（1）由a_n²，2S_n，a_n+1²成等比數(shù)列，得4Sn2=an2an+12．
又a_n＞0，∴2S_n=a_na_n+1，則2a₁=a₁a₂，
又a₁=1，∴a₂=2．
當(dāng)n＞1時(shí)，2S_n-1=a_n-1a_n．
∴2a_n=a_n（a_n+1-a_n-1），即a_n+1-a_n-1=2．
∵a₁=1，a₂=2，
∴a₁，a₃，a₅，…成首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列．
a₂，a₄，a₆，…成首項(xiàng)為2公差為2的等差數(shù)列．
∴數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為1公差為1的等差數(shù)列．
∴a_n=n；
（2）∵T_n=2a_n-b_n=2n-b_n，
∴b₁=2-b₁，b₁=1．
n＞1時(shí)，T_n-1=2（n-1）-b_n-1，
∴b_n=2-b_n+b_n-1，
2b_n=2+b_n-1，
∴2（b_n-2）=b_n-1-2．
∴{b_n-2}是首項(xiàng)為1-2=-1，公比為

1

2

的等比數(shù)列．
∴bn-2=-(

1

2

)n-1．
則bn=2-

1

2n-1

．

點(diǎn)評：本題考查了數(shù)列遞推式，考查了等差關(guān)系和等比關(guān)系的確定，訓(xùn)練了數(shù)列構(gòu)造法，是中檔題．