【題目】已知圓過點，且圓心在直線上，過點的直線交圓于兩點，過點分別做圓的切線，記為.

（Ⅰ）求圓的方程；

（Ⅱ）求證：直線的交點都在同一條直線上，并求出這條直線的方程.

【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）直線的交點都在直線同一條直線上，且直線方程為.

【解析】

（Ⅰ）設(shè)圓的方程為

弦的中點，又 ，故的垂直平分線的方程

因為圓心是的垂直平分線與直線的交點，由，得，即圓心

又半徑，即可得到圓的方程；

（Ⅱ）設(shè)，直線的交點

若為直線上任意一點，則,得

∴，即處的圓的切線方程

同理可得，在點處的圓的切線方程為

由直線過點可推出點滿足方程

即直線的方程為 ，

又直線過點即

由此可得到直線的交點都在直線同一條直線上，且直線方程為.

（Ⅰ）設(shè)圓的方程為

弦的中點

又

∴的垂直平分線的方程：

即

圓心是的垂直平分線與直線的交點

∴由，得，即圓心

又半徑

∴圓的方程為

（Ⅱ）設(shè)，直線的交點

若為直線上任意一點，則

,得，

∵

∴，即處的圓的切線方程

同理可得，在點處的圓的切線方程為

由直線過點

∴,,

∴點滿足方程

即直線的方程為 ，

又直線過點

∴，即

∴直線的交點都在直線同一條直線上，且直線方程為.

練習冊系列答案
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