Question

7．已知函數(shù)f（x）是定義域為R的奇函數(shù)，且當x≥0時，f（x）=log₂（x+1）+2^x-a，則滿足f（x²-3x-1）+9＜0的實數(shù)x的取值范圍是（　　）

• A． （-2，-1）
• B． （-1，0）
• C． （0，1）
• D． （1，2）

Answer 1

分析 根據(jù)題意，利用奇函數(shù)的性質(zhì)可得f（0）=log₂（1）+2⁰-a=0，解可得a=1，即可得函數(shù)f（x）的解析式，結(jié)合指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)分析可得函數(shù)f（x）在[0，+∞）上為增函數(shù)，結(jié)合函數(shù)的奇偶性可得函數(shù)f（x）在R上為增函數(shù)，由此可以將f（x²-3x-1）+9＜0轉(zhuǎn)化為x²-3x+2＜0，解可得x的取值范圍，即可得答案．

解答 解：函數(shù)f（x）是定義域為R的奇函數(shù)，則有f（0）=0，
即f（0）=log₂（1）+2⁰-a=0，
解可得a=1，
則當x≥0時，f（x）=log₂（x+1）+2^x-1，
則有f（3）=log₂（4）+2³-1=9，
又由當x≥0時，f（x）=log₂（x+1）+2^x-1，而函數(shù)y=log₂（x+1）和函數(shù)y=2^x-1都是增函數(shù)，則函數(shù)f（x）在[0，+∞）上為增函數(shù)，
又由函數(shù)f（x）是定義域為R的奇函數(shù)，則在區(qū)間（-∞，0]上也是增函數(shù)，
故函數(shù)f（x）在R上為增函數(shù)，
f（x²-3x-1）+9＜0⇒f（x²-3x-1）+f（3）＜0⇒f（x²-3x-1）＜-f（3）⇒f（x²-3x-1）＜f（-3）⇒x²-3x-1＜-3⇒x²-3x+2＜0，
解可得：-1＜x＜2，
即x的取值范圍為（-1，2）；
故選：D．

點評 本題考查函數(shù)奇偶性與單調(diào)性的綜合應(yīng)用，關(guān)鍵是利用函數(shù)的奇偶性求出a的值．