Question

設x₁，x₂∈R，常數(shù)a＞0，定義運算“*”：x₁*x₂=（x₁+x₂）²-（x₁-x₂）²．
（1）若x≥0，求動點的軌跡C的方程；
（2）若a=2，不過原點的直線l與x軸、y軸的交點分別為T，S，并且與（1）中的軌跡C交于不同的兩點P，Q，試求的取值范圍；
（3）設P（x，y）是平面上的任意一點，定義=．若在（1）中的軌跡C存在不同的兩點A₁，A₂，使得d₁（A_i）=成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）動點的軌跡C的方程即，代入定義的運算，即可得軌跡C的方程
（2）由題意得y²=8x（y≥0），設直線l：x=my+c，由已知m＞0，c＜0，將S，T，P，Q的坐標代入
可知只需求x_p+x_q，x_p•x_q，將直線與曲線聯(lián)立后即可得x_p+x_q，x_p•x_q，代入即得與m的函數(shù)關系，求范圍即可
（3）設A₁（x₁，y₁），A₂（x₂，y₂），由定義=，分別計算
d₁（A₁），d₁（A₂），d₂（A₁），d₂（A₂），d₁（A_i）=成立，可轉化為方程在x∈[0，+∞）有兩個不等的實數(shù)解，利用韋達定理得到不等式組，即可求得實數(shù)a的取值范圍
解答：解：（1）設∴動點P的軌跡C的方程為：y²=4ax（y≥0）
（2）由題意得y²=8x（y≥0），設直線l：x=my+c，由已知m＞0，c＜0
則T（c，0）．S，T，P，Q都在直線l上，∴=，由題得c＜0，x_P＞0，x_Q＞0∴=
由消去y得x²-（2c+8m²）x+c²=0
∴∵c＜0，∴∴∴=＞2，
的取值范圍是（2，+∞）
（3）由，d₂（P）=|x-a|
設A₁（x₁，y₁），A₂（x₂，y₂），由已知有
故方程在x∈[0，+∞）有兩個不等的實數(shù)解
整理得（a-1）x²-（2a²+4a）x+a³=0在x∈[0，+∞）有兩個不等的實數(shù)解∴
又∵a＞0，∴a＞1
故實數(shù)a的取值范圍是（1，+∞）
點評：本題綜合考查了軌跡問題，直線與曲線的位置關系，一元二次方程根的分布等知識，需要有很強的理解力和運算力才可順利求解，屬難題