已知:橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0),過(guò)點(diǎn)A
-a,0
,B
0,b
的直線傾斜角為
π
6
,原點(diǎn)到該直線的距離為
3
2

(1)求橢圓的方程;
(2)斜率大于零的直線過(guò)D
-1,0
與橢圓交于E,F(xiàn)兩點(diǎn),若
ED
=2
DF
,求直線EF的方程.
分析:(1)根據(jù)直線傾斜角為
π
6
,原點(diǎn)到該直線的距離為
3
2
,可建立方程,求得幾何量,從而可求橢圓的方程;
(2)直線方程代入橢圓方程,利用向量,求得坐標(biāo)之間的關(guān)系,即可求得結(jié)論.
解答:解:(1)由題意,
b
a
=
3
3
,
1
2
a•b=
1
2
3
2
a2+b2
,得a=
3
,b=1,
所以橢圓方程是:
x2
3
+y2=1
…(4分)
(2)設(shè)EF:x=my-1(m>0)代入
x2
3
+y2=1
,得(m2+3)y2-2my-2=0,
設(shè)E
x1,y1
,F
x2,y2
,由
ED
=2
DF
,得y1=-2y2
y1+y2=-y2=
2m
m2+3
,y1y2=-2y22=
-2
m2+3
…(8分)
(-
2m
m2+3
)2=
1
m2+3
,∴m=1,m=-1(舍去),(沒(méi)舍去扣1分)
直線EF的方程為:x=y-1即x-y+1=0…(12分)
點(diǎn)評(píng):本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,考查直線與橢圓的位置關(guān)系,考查韋達(dá)定理的運(yùn)用,考查向量知識(shí),屬于中檔題.
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知以橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的右焦點(diǎn)F為圓心,a為半徑的圓與直線l:x=
a2
c
(其中c=
a2-b2
)交于不同的兩點(diǎn),則該橢圓的離心率的取值范圍是(  )
A、(
5
-1
2
,1)
B、(
3
-1
2
,1)
C、(0,
3
-1
2
)
D、(0,
5
-1
2
)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

精英家教網(wǎng)已知半橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(x≥0)
與半橢圓
y2
b2
+
x2
c2
=1(x≤0)
組成的曲線稱為“果圓”,其中a2=b2+c2,a>0,b>c>0.如圖,設(shè)點(diǎn)F0,F(xiàn)1,F(xiàn)2是相應(yīng)橢圓的焦點(diǎn),A1,A2和B1,B2是“果圓”與x,y軸的交點(diǎn),
(1)若三角形F0F1F2是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形,求“果圓”的方程;
(2)若|A1A|>|B1B|,求
b
a
的取值范圍;
(3)一條直線與果圓交于兩點(diǎn),兩點(diǎn)的連線段稱為果圓的弦.是否存在實(shí)數(shù)k,使得斜率為k的直線交果圓于兩點(diǎn),得到的弦的中點(diǎn)的軌跡方程落在某個(gè)橢圓上?若存在,求出所有k的值;若不存在,說(shuō)明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知過(guò)橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的右焦點(diǎn)F斜率是1的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn),若
AF
=2
FB
,則橢圓的離心率是
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知:橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0),過(guò)點(diǎn)A(-a,0),B(0,b)的直線傾斜角為
π
6
,原點(diǎn)到該直線的距離為
3
2

(1)求橢圓的方程;
(2)斜率大于零的直線過(guò)D(-1,0)與橢圓交于E,F(xiàn)兩點(diǎn),若
ED
=2
DF
,求直線EF的方程;
(3)是否存在實(shí)數(shù)k,直線y=kx+2交橢圓于P,Q兩點(diǎn),以PQ為直徑的圓過(guò)點(diǎn)D(-1,0)?若存在,求出k的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖已知,橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2,過(guò)F1的直線l與橢圓相交于A、B兩點(diǎn).
(Ⅰ)若∠AF1F2=60°,且
AF1
AF2
=0
,求橢圓的離心率;
(Ⅱ)若a=
2
,b=1
,求
F1A
F1B
的最大值和最小值.

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