Question

8．已知函數f（x）=lnx-x²+x．
（1）求函數f（x）的單調遞減區(qū)間；
（2）若在y軸右側，函數h（x）=（a-1）x²+2ax-1的圖象都在函數f（x）圖象的上方，求整數a的最小值．

Answer 1

分析 （1）求出函數的導數，解關于導函數的不等式，求出函數的單調區(qū)間即可；
（2）令g（x）=f（x）-h（x），求出函數的導數，通過討論a的范圍，確定函數的單調性，進而確定a的最小值．

解答 解：（1）$f'（x）=\frac{1}{x}-2x+1=\frac{{-2{x^2}+x+1}}{x}（{x＞0}）$，
由f'（x）＜0，得2x²-x-1＞0，又x＞0，所以x＞1．
所以f（x）的單調遞減區(qū)間為（1，+∞）…（4分）
（2）令g（x）=f（x）-h（x）=lnx-ax²+（1-2a）x+1，
所以$g'（x）=\frac{1}{x}-2ax+（{1-2a}）=\frac{{-2a{x^2}+（{1-2a}）x+1}}{x}$…（6分）
當a≤0時，因為x＞0，所以g'（x）＞0，
所以g（x）在（0，+∞）上是遞增函數，
又因為g（1）=ln1-a×1²+（1-2a）+1=-3a+2＞0，
所以關于x的不等式f（x）≤（a-1）x²+2ax-1不能恒成立…（8分）
當a＞0時，$g'（x）=\frac{{-2a{x^2}+（{1-2a}）x+1}}{x}=-\frac{{2a（{x-\frac{1}{2a}}）（{x+1}）}}{x}$，
令g'（x）=0，得$x=\frac{1}{2a}$，
所以當$x∈（{0，\frac{1}{2a}}）$時，g'（x）＞0；當$x∈（{\frac{1}{2a}，+∞}）$時，g'（x）＜0，
因此函數g（x）在$（{0，\frac{1}{2a}}）$是增函數，在$（{\frac{1}{2a}，+∞}）$是減函數．
故函數g（x）的最大值為$g（{\frac{1}{2a}}）=\frac{1}{4a}-ln2a$…（10分）
令$F（a）=\frac{1}{4a}-ln2a$，
因為$F（{\frac{1}{2}}）=\frac{1}{2}＞0，F（1）=\frac{1}{4}-ln2＜0$，
又F（a）在a∈（0，+∞）是減函數．
所以當a≥1時，F（a）＜0，
所以整數a的最小值為1…（12分）

點評 本題考查了函數的單調性、最值問題，考查導數的應用以及分類討論思想，是一道中檔題．