Question

已知函數(shù)f（x）=（x+a）2+lnx．

（1）當a=時，求函數(shù)f（x）在[1，+∞）上的最小值；

（2）若函數(shù)f（x）在[2，+∞）上遞增，求實數(shù)a的取值范圍；

（3）若函數(shù)f（x）有兩個極值點x1、x2，且x1∈（0，），證明：f（x1）﹣f（x2）＞﹣ln2．

 

Answer 1

（1）；（2）；（3）略

【解析】

試題分析：（1）定義域為，當時，函數(shù)，則

，所以在上遞增，；

（2），因為在上遞增，所以在上恒成立即在上恒成立，即，而，在上遞減，當時，，所以；（3）的定義域為，，因為函數(shù)有兩個極值點、，所以、是方程的兩根，因此，，且，，

所以

令，，在上單調遞減，，所以f（x1）﹣f（x2）＞﹣ln2.

試題解析：（1）當時，函數(shù)，則

∴在上遞增，

（2），

∵在上遞增，∴在上恒成立，

∴在上恒成立，

即，而，在上遞減，

當時，，

∴

（3）的定義域為，

∵函數(shù)有兩個極值點、，∴、是方程的兩根，

∴，，且，，

∴

令)

∴在上單調遞減，

∴

∴f（x1）﹣f（x2）＞﹣ln2.

考點：1.函數(shù)的單調性與最值；2.導數(shù)與單調性；3.不等式恒成立問題；