Question

如圖，AB是圓O的直徑，點C是弧AB的中點，點V是圓O所在平面外一點，D是AC的中點，已知AB=2，VA=VB=VC=2．
（1）求證：AC⊥平面VOD；
（2）求三棱錐C-ABV的體積．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積,直線與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）由已知得VO⊥AB，連接OC，得△VOA≌△VOC，從而VO⊥OC，由此能證明AC⊥平面DOV．
（2）VO是棱錐V-ABC的高，由此能求出棱錐V-ABC的體積．

解答： （1）證明：∵VA=VB，O為AB的中點，
∴VO⊥AB，
連接OC，在△VOA和△VOC中，
OA=OC，VO=VO，VA=VC，
∴△VOA≌△VOC，
∴∠VOA=∠VOC=90°，
∴VO⊥OC，
∵AB∩OC=O，AB?平面ABC，OC?平面ABC，
∴VO⊥平面ABC，
∵AC?平面ABC，∴AC⊥VO，
又∵VA=VC，D是AC的中點，
∴AC⊥VD，
∵VO?平面VOD，VD?平面VOD，VO∩VD=V，
∴AC⊥平面DOV．
（2）解：由（1）知VO是棱錐V-ABC的高，
且VO=

VA2-AO2

=

3

．
又∵點C是弧的中點，∴CO⊥AB，且CO=1，AB=2，
∴三角形ABC的面積S_△ABC=

1

2

AB•CD=

1

2

×2×1=1，
∴棱錐V-ABC的體積為V_V-ABC=

1

3

S△ABC•VO
=

1

3

×1×

3

=

3

3

，
故棱錐C-ABV的體積為

3

3

．（12分）

點評：本題考查直線與平面垂直的證明，考查棱錐的體積的求法，是中檔題，解題時要注意空間思維能力的培養(yǎng)．