Question

已知二次函數(shù)f（x）=Ax²+Bx（A≠0），f（1）=3，其圖象關(guān)于x=-1對(duì)稱，數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，點(diǎn)（n，S_n）（n∈N^*均在y=f（x）圖象上．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式，并求S_n的最小值；
（Ⅱ）數(shù)列{b_n}，bn=

1

Sn

，{b_n}的前n項(xiàng)和為 T_n，求證：

1

3

-

1

4n

＜T_n＜

3

4

-

1

n+3

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列與不等式的綜合,數(shù)列的函數(shù)特性,數(shù)列的求和

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）由f（1）=3，二次函數(shù)f（x）=Ax²+Bx的對(duì)稱軸為x=-1列式求得A，B的值，則函數(shù)解析式可求，結(jié)合點(diǎn)（n，S_n）在y=f（x）圖象上得到數(shù)列數(shù)列的前n項(xiàng)和，由a_n=S_n-S_n-1求得數(shù)列的通項(xiàng)公式．由函數(shù)的單調(diào)性求得S_n的最小值；
（Ⅱ）利用裂項(xiàng)相消法求出數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T_n，然后利用放縮法證得數(shù)列不等式．

解答： （Ⅰ）解：f（1）=A+B=3，-

B

2A

=-1，
∴A=1，B=2，f（x）=x²+2x，
點(diǎn)(n，Sn)(n∈N*)均在y=f（x）圖象上，
∴Sn=n2+2n  ①，
Sn-1=(n-1)2+2(n-1)（n≥2）②，
①-②得S_n-S_n-1=2n+1，即a_n=2n+1 （n≥2），
又a₁=S₁=3，
∴a_n=2n+1（n∈N^*）．
由Sn=n2+2n=（n+1）²-1，
該函數(shù)在[-1，+∞）上為增函數(shù)，
又n∈N^*，
∴當(dāng)n=1時(shí)，（S_n）_min=3； 
（Ⅱ）證明：bn=

1

n2+2n

=

1

n(n+2)

=

1

2

(

1

n

-

1

n+2

)，
Tn=

1

2

[(1-

1

3

)+(

1

2

-

1

4

)+…+(

1

n

-

1

n+2

)]，
=

1

2

[(1+

1

2

-

1

n+1

-

1

n+2

)]=

3

4

-

1

2

(

1

n+1

+

1

n+2

)．
即證

3

4

-

1

n+3

＞

3

4

-

1

2

(

1

n+1

+

1

n+2

)，
也就是證

2

n+3

＜(

1

n+1

+

1

n+2

)，
∵

1

n+3

＜

1

n+1

，

1

n+3

＜

1

n+2

，
∴右邊成立，
又T_n隨n的增大而增大，Tn＞T1=

1

3

＞

1

3

-

1

4n

，左邊成立．
∴原不等式成立．

點(diǎn)評(píng)：本題是數(shù)列與不等式的綜合題，考查了數(shù)列的函數(shù)特性，考查了裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的和，訓(xùn)練了利用放縮法證明數(shù)列不等式，是壓軸題．