Question

已知向量=（cosx，sinx），=（-cosx，cosx）
（1）當x∈[，]時，求函數(shù)f（x）=2•+1的最大值．
（2）設(shè)f（x）=2•+1，將函數(shù)y=f（x）的圖象向右平移個單位后，再將得到的圖象上各點的橫坐標伸長到原來的4倍，縱坐標不變，得到函數(shù)y=g（x）的圖象，求y=g（x）的單調(diào)遞減區(qū)間．

Answer 1

解：（1）函數(shù)f（x）=2•+1=2（-cos²x+sinxcosx）+1=2sinxcosx-（2cos²x-1 ）
=sin2x-cos 2x=sin（2x-）．
∵x∈[，]，∴≤2x-≤2π，∴-1≤sin（2x-）≤，
∴當 2x-=，即 x=時，函數(shù)f（x）有最大值為 =1．
（2）由題意得，f（x）= sin（2x-）的圖象向右平移個單位后得到，
y=sin[2（x-）-]= sin[2x-]，
再將得到的圖象上各點的橫坐標伸長到原來的4倍，縱坐標不變，得到g（x）= sin[•2x-]= sin（-）．
由2kπ+≤（-）≤2kπ+，k∈z，4kπ+≤x≤4kπ+，
故g（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（ 4kπ+，4kπ+ ），k∈z．
分析：（1）利用兩個向量的數(shù)量積公式化簡函數(shù)f（x）的解析式，確定角的范圍，求出其最值．
（2）由題意得，g（x）= sin（-），由2kπ+≤（-）≤2kπ+，k∈z，求出x的范圍，即得到g（x）的單調(diào)遞減區(qū)間．
點評：本題考查兩個向量的數(shù)量積公式，三角函數(shù)的圖象的變換，三角函數(shù)的最值，正弦函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間，得到g（x）的 解析式是解題的難點．