Question

設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為F₁，直線與x軸交于點(diǎn)A，若（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)）．
（1）求橢圓M的方程；
（2）設(shè)P是橢圓M上的任意一點(diǎn)，EF為圓N：x²+（y-2）²=1的任意一條直徑（E、F為直徑的兩個(gè)端點(diǎn)），求的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）先求出點(diǎn)A，F(xiàn)₁的坐標(biāo)，利用，即可求得橢圓的方程；
（2）方法1：設(shè)圓N：x²+（y-2）²=1的圓心為N，則==，從而求的最大值轉(zhuǎn)化為求的最大值；
方法2：設(shè)點(diǎn)E（x₁，y₁），F(xiàn)（x₂，y₂），P（x，y），根據(jù)E，F(xiàn)的中點(diǎn)坐標(biāo)為（0，2），可得 
所以=．根據(jù)點(diǎn)E在圓N上，點(diǎn)P在橢圓M上，可得==，利用，可求的最大值；
方法3：①若直線EF的斜率存在，設(shè)EF的方程為y=kx+2，由，解得，再分別求得、，利用，可求的最大值；②若直線EF的斜率不存在，此時(shí)EF的方程為x=0，同理可求
的最大值．
解答：解：（1）由題設(shè)知，，，…（1分）
由，得．…（3分）
解得a²=6．
所以橢圓M的方程為．…（4分）
（2）方法1：設(shè)圓N：x²+（y-2）²=1的圓心為N，
則 …（6分）
=…（7分）
=．…（8分）
從而求的最大值轉(zhuǎn)化為求的最大值．…（9分）
因?yàn)镻是橢圓M上的任意一點(diǎn)，設(shè)P（x，y），…（10分）
所以，即．…（11分）
因?yàn)辄c(diǎn)N（0，2），所以．…（12分）
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131024191337126081865/SYS201310241913371260818020_DA/34.png">，所以當(dāng)y=-1時(shí)，取得最大值12，…（13分）
所以的最大值為11，…（14分）

方法2：設(shè)點(diǎn)E（x₁，y₁），F(xiàn)（x₂，y₂），P（x，y），
因?yàn)镋，F(xiàn)的中點(diǎn)坐標(biāo)為（0，2），所以 …（6分）
所以…（7分）=（x₁-x）（-x₁-x）+（y₁-y）（4-y₁-y）==．…（9分）
因?yàn)辄c(diǎn)E在圓N上，所以，即．…（10分）
因?yàn)辄c(diǎn)P在橢圓M上，所以，即．…（11分）
所以==．…（12分）
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131024191337126081865/SYS201310241913371260818020_DA/48.png">，所以當(dāng)y=-1時(shí)，．…（14分）
方法3：①若直線EF的斜率存在，設(shè)EF的方程為y=kx+2，…（6分）
由，解得．…（7分）
因?yàn)镻是橢圓M上的任一點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P（x，y），
所以，即．…（8分）
所以，…（9分）
所以．…（10分）
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131024191337126081865/SYS201310241913371260818020_DA/57.png">，所以當(dāng)y=-1時(shí)，取得最大值11，…（11分）
②若直線EF的斜率不存在，此時(shí)EF的方程為x=0，
由，解得y=1或y=3．
不妨設(shè)，E（0，3），F(xiàn)（0，1）．…（12分）
因?yàn)镻是橢圓M上的任一點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P（x，y），
所以，即．
所以，．
所以．
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131024191337126081865/SYS201310241913371260818020_DA/65.png">，所以當(dāng)y=-1時(shí)，取得最大值11，…（13分）
綜上可知，的最大值為11，…（14分）
點(diǎn)評：本題以向量為載體，考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查向量的數(shù)量積，考查配方法求函數(shù)的最值，綜合性強(qiáng)，屬于中檔題．