Question

設(shè)首項為a₁，公差為d的等差數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n．已知a₇=-2，S₅=30．
（Ⅰ）求a₁及d；
（Ⅱ）若數(shù)列{b_n}滿足a_n=

b1+2b2+3b3+…+nbn

n2

（n∈N^*），求數(shù)列{b_n}的通項公式，并b_n的最大值．

Answer 1

考點：等差數(shù)列的性質(zhì)

專題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）利用a₇=-2，S₅=30，建立方程組，即可求a₁及d；
（Ⅱ）利用（Ⅰ）可得a_n=

b1+2b2+3b3+…+nbn

n2

=12-2n，整理有b₁+2b₂+…+nb_n=n²（12-2n），再寫一式，兩式相減，求出數(shù)列{b_n}的通項公式，利用單調(diào)性求出b_n的最大值．

解答： 解：（Ⅰ）由題意可知

5a1+ 5×4 2 d=30 a1+6d=-2

得

a1=10 d=-2.

…（5分）
（Ⅱ）a_n=

b1+2b2+3b3+…+nbn

n2

=12-2n，
∴b₁+2b₂+…+nb_n=n²（12-2n），
n=1時，b₁=10；
n≥2時，b₁+2b₂+…+（n-1）b_n-1=（n-1）²（14-2n），
∴nb_n=-6n²+30n-14，
∴b_n=-6n+30-

14

n

=30-(6n+

14

n

)，
由n∈N^*知，當n≥2時，bn=30-(6n+

14

n

)為遞減數(shù)列，
又b₁=10，b2=30-(12+

14

2

)=11，
∴b_n的最大值是11．…（14分）

點評：本題考查等差數(shù)列的通項，考查數(shù)列的單調(diào)性，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．