Question

【題目】某公司為了解廣告投入對銷售收益的影響，在若干地區(qū)各投入萬元廣告費用，并將各地的銷售收益繪制成頻率分布直方圖（如圖所示）．由于工作人員操作失誤，橫軸的數據丟失，但可以確定橫軸是從開始計數的．

（Ⅰ）根據頻率分布直方圖計算圖中各小長方形的寬度；

（Ⅱ）估計該公司投入萬元廣告費用之后，對應銷售收益的平均值（以各組的區(qū)間中點值代表該組的取值）；

（Ⅲ）該公司按照類似的研究方法，測得另外一些數據，并整理得到下表：

廣告投入x（單位：萬元）	1	2	3	4	5
銷售收益y（單位：萬元）	2	3	2		7

表中的數據顯示，與之間存在線性相關關系，請將（Ⅱ）的結果填入空白欄，并計算關于的回歸方程．

回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ），

【解析】

試題分析：（Ⅰ）由頻率分布直方圖各小長方形面積總和為，可計算小長方形的寬度；（Ⅱ）平均值為各組的區(qū)間中點值與對應組頻率乘積之和，由此可求平均值的估計值；（Ⅲ）首先由（Ⅱ）求得空白處應為，由此計算，然后結合所給公式求，從而求出回歸直線方程．

試題解析：（Ⅰ）設各小長方形的寬度為，由頻率分布直方圖各小長方形面積總和為1，可知

，故；

（Ⅱ）由（Ⅰ）知各小組依次是，

其中點分別為，對應的頻率分別為，

故可估計平均值為；

（Ⅲ）空白欄中填5．

由題意可知，，，

，，

根據公式，可求得，，

即回歸直線的方程為．