分析 根據(jù)反證法的步驟,先假設(shè)相反的結(jié)論,再推出與已知條件相矛盾的結(jié)論,否定假設(shè),肯定結(jié)論.
解答 證明:假設(shè)$\sqrt{p}$是有理數(shù),則存在互素的正整數(shù)m和n使得$\sqrt{p}$=$\frac{m}{n}$,
所以p=$\frac{{m}^{2}}{{n}^{2}}$,所以m2=pn2,所以m必為p的倍數(shù).
設(shè)m=pk 則p2k2=pn2,所以pk2=n2,所以n也必是p的倍數(shù),
這與正整數(shù)m和n互素矛盾.
綜上所述,若p不是完全平方數(shù),則$\sqrt{p}$是無(wú)理數(shù).
點(diǎn)評(píng) 本題考查用反證法證明數(shù)學(xué)命題,推出矛盾,是解題的關(guān)鍵和難點(diǎn).
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