Question

7．如圖，已知DP⊥y軸，點(diǎn)D為垂足，點(diǎn)M在線(xiàn)段DP的延長(zhǎng)線(xiàn)上，且滿(mǎn)足|DP|=|PM|，當(dāng)點(diǎn)P在圓x²+y²=3上運(yùn)動(dòng)時(shí)
（1）求點(diǎn)M的軌跡C的方程；
（2）直線(xiàn)l：x=my+3（m≠0）交曲線(xiàn)C于A、B兩點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)B關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為B₁（點(diǎn)B₁與點(diǎn)A不重合），且直線(xiàn)B₁A與x軸交于點(diǎn)E．
①證明：點(diǎn)E是定點(diǎn)；
②△EAB的面積是否存在最大值？若存在，求出最大值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）利用代入法，即可求點(diǎn)M的軌跡C的方程；
（2）①由題意，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），可得直線(xiàn)AB₁的方程，令y=0，可得點(diǎn)E的坐標(biāo)為（4，0）． ②利用△EAB的面積為S=$\frac{1}{2}$|PF||y₁-y₂|=2$\sqrt{3}$•$\sqrt{\frac{{m}^{2}+1}{（{m}^{2}+4）^{2}}}$，化簡(jiǎn)，利用基本不等式的性質(zhì)即可得出．

解答 （1）解：設(shè)M（x，y），則P（$\frac{1}{2}$x，y），代入x²+y²=3，可得$\frac{1}{4}$x²+y²=3，即$\frac{{x}^{2}}{12}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1；
（2）①證明：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則直線(xiàn)與橢圓C方程聯(lián)立，
化簡(jiǎn)并整理得（m²+4）y²+6my-3=0，
∴y₁+y₂=-$\frac{6m}{{m}^{2}+4}$，y₁y₂=-$\frac{3}{{m}^{2}+4}$，
由題設(shè)知B₁（x₂，-y₂），∴直線(xiàn)AB₁的方程為y-y₁=$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$（x-x₁），
令y=0得x=$\frac{（m{y}_{1}+3）{y}_{2}+（m{y}_{2}+3）{y}_{1}}{{y}_{1}+{y}_{2}}$=4，
∴點(diǎn)E（4，0）…（7分）
②△EAB的面積S=$\frac{1}{2}$|PF||y₁-y₂|=2$\sqrt{3}$•$\sqrt{\frac{{m}^{2}+1}{（{m}^{2}+4）^{2}}}$=2$\sqrt{3}$•$\sqrt{\frac{1}{{m}^{2}+1+\frac{9}{{m}^{2}+1}+6}}$≤1
當(dāng)且僅當(dāng)${m}^{2}+1=\frac{9}{{m}^{2}+1}$，即m=$±\sqrt{2}$時(shí)等號(hào)成立，
∴△PMN的面積存在最大值，最大值為1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了軌跡問(wèn)題、直線(xiàn)與橢圓相交弦長(zhǎng)問(wèn)題、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、基本不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．