Question

如果函數f（x）在區(qū)間D上有定義，且對任意x₁，x₂∈D，x₁≠x₂，都有f(

x1+x2

2

)＜

f(x1)+f(x2)

2

，則稱函數f（x）在區(qū)間D上的“凹函數”．
（Ⅰ）已知f（x）=ln（1+e^x）-x（x∈R），判斷f（x）是否是“凹函數”，若是，請給出證明；若不是，請說明理由；
（Ⅱ）已知f（x）=ln（1+e^x）-x是定義域在R上的減函數，且A、B、C是其圖象上三個不同的點，求證：△ABC是鈍角三角形．

Answer 1

分析：（Ⅰ）首先由題設條件右以判斷函數f（x）是凹函數，然后用函數單調性的定義進行證明
（Ⅱ）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（（x₃，y₃），且x₁＜x₂＜x₃，由f（x）是x∈R上的單調減函數知f（x₁）＞f（x₂）＞f（x₃），由此能夠推導出＜B是鈍角，所以△ABC為鈍角三角形．

解答：解：（Ⅰ）函數f（x）是凹函數，證明如下：設x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，
則f(x1)+f(x2)-2f(

x1+x2

2

)
=ln(1+ex1)+ln(1+ex2)-x1-x2-2[ln(1+e

x1+x2

2

)-

x1+x2

2

]
=ln(1+ex1)(1+ex2)-ln(1+e

x1+x2

2

)2
=ln(1+ex1+ex2+ex1+x2)-ln(1+2e

x1+x2

2

+ex1+x2)
∵ex1＞0，ex2＞0，且x1≠x2
∴ex1+ex2＞2

ex1ex2

=2e

x1+x2

2

∴1+ex1+ex2+ex1+x2＞1+2e

x1+x2

2

+ex1+x2
∴ln(1+ex1+ex2+ex1+x2)＞ln(2+2e

x1+x2

2

+ex1+x2)
∴ln(1+ex1+ex2+ex1+x2)-ln(1+2e

x1+x2

2

+ex1+x2)＞0
∴f(x1)+f(x2)＞2f(

x1+x2

2

)∴f（x）是凹函數（7分）
（Ⅱ）證明：（Ⅱ）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（（x₃，y₃），
且x₁＜x₂＜x₃，∵f（x）是x∈R上的單調減函數∴f（x₁）＞f（x₂）＞f（x₃）
∴

BA

•

BC

=(x1-x2)(x3-x2)+(f(x1)-f(x2))(f(x3)-f(x2))
∵x₁-x₂＜0，x₃-x₂＞0，f（x₁）-f（x₂）＞0，f（x₃）-f（x₂）＜0
∴

BA

•

BC

＜0，∴cosB＜0，∠B為鈍角
故△ABC為鈍角三角形．（13分）

點評：本題考查函數的性質和應用，解題時要認真審題，仔細解答．