Question

已知曲線y=（a-3）x³+lnx存在垂直于y軸的切線，函數f（x）=x³-ax²-3x+1在[1，2]上單調遞減，則a的范圍為

[

9

4

 ，3)

．

Answer 1

分析：根據曲線y=（a-3）x³+lnx存在垂直于y軸的切線，即y'=0有解，利用f（x）=x³-ax²-3x+1在[1，2]上單調遞減，則f'（x）≤0恒成立．

解答：解：因為y=（a-3）x³+lnx存在垂直于y軸的切線，即y'=0有解，即y'=3(a-3)x2+

1

x

=

3(a-3)x3+1

x

=0在x＞0時有解，
所以3（a-3）x³+1=0，即a-3＜0，所以此時a＜3．
函數f（x）=x³-ax²-3x+1在[1，2]上單調遞減，則f'（x）≤0恒成立，
即f'（x）=3x²-2ax-3≤0恒成立，即2a≥

3x2-3

x

=3x-

3

x

，
因為函數y=3x-

3

x

在[1，2]上單調遞增，所以函數y=3x-

3

x

的最大值為y=3×2-

3

2

=6-

3

2

=

9

2

，
所以2a≥

9

2

，所以a≥

9

4

．
綜上

9

4

≤a＜3．
故答案為：[

9

4

 ，3)．

點評：本題主要考查導數的基本運算和導數的應用，要求熟練掌握利用導數在研究函數的基本應用．