Question

【題目】函數(shù).

（1）若，，討論函數(shù)的零點個數(shù)情況；

（2）若，對于，存在，使得成立，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1) 當或時，函數(shù) 有一個零點；當時，函數(shù)有兩個零點；當時，函數(shù)沒有零點；(2).

【解析】

（1）分離參數(shù)，將函數(shù)零點個數(shù)的問題，轉化為函數(shù)圖像交點的問題，通過求解函數(shù)單調性和值域，得出結論；

（2）分離參數(shù)，將能成立問題轉化為函數(shù)值域的問題，再利用導數(shù)求解函數(shù)的值域即可.

（1）當時，，定義域為

令，即，等價于

令，則，令，解得

故當時，，單調遞減，

當時，，單調遞增.

故.

又當趨近于0時，趨近于正無窮；

當時，，且趨近于0，

據此，畫出函數(shù)的示意圖如下：

結合圖像，以及函數(shù)單調性可知：

當或時，函數(shù) 有一個零點；

當時，函數(shù)有兩個零點；

當時，函數(shù)沒有零點.

（2）當時，

存在,等價于存在, ，且

等價于存在時，能成立，

且存在使得能成立.

因為是單調減函數(shù)，故能成立，

等價于

即；

令，故

令，解得或(舍)

故當單調遞減，當，函數(shù)單調遞增

故，又，

因為，故當時，

故要使得當時，存在，使得成立

只需，又因為

故可得.