已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0)的離心率為
2
2
3
,過雙曲線
x2
b2
-
y2
a2
=1
左支上一點M作直線l與雙曲線的漸近線l1,l2分別交于A,B兩點.
(1)求漸近線l1,l2的方程;
(2)若
AM
=3
BM
,且
OA
OB=8
,求橢圓的方程.
分析:(1)利用橢圓離心率,結(jié)合a,b,c的關(guān)系,可求a,b的比值,即可求得漸近線方程;
(2)設(shè)M(x0,y0),A(x1,3x1),B(x2,-3x2),利用向量的坐標表示得到點M的坐標與A,B坐標的關(guān)系式,再將M的坐標代入橢圓方程結(jié)合題中向量的數(shù)量積條件即可得出a,b的值,從而求得橢圓的方程.
解答:解:(1)∵
8
9
=
a2-b2
a2
,得
b
a
=
1
3
,∴漸近線l1,l2的方程為y=±3x;
(2)設(shè)M(x0,y0),A(x1,3x1),B(x2,-3x2),
AM
=(x0-x1,y0-3x1),
BM
=(x0-x2,y0+3x2),
∴y0-3x1=3y0+9x2
∴y0=
3
2
(-3x2-x1),∵
(3x2-x1)2
4b2
-
9
4
(3x2+x1)2
9b2
=1

∴4b2=-12x1x2,即b2=-3x1x2,
OA
OB
=8,
∴x1x2+3x1(-3x2)=8,x1x2=-1,
∴b2=3,a2=27,
∴橢圓的方程為;
x2
27
+
y2
3
=1
點評:本題考查橢圓的標準方程,考查雙曲線的幾何性質(zhì),考查學(xué)生的計算能力,屬于中檔題.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的左右焦點分別為F1,F(xiàn)2,左頂點為A,若|F1F2|=2,橢圓的離心率為e=
1
2

(Ⅰ)求橢圓的標準方程,
(Ⅱ)若P是橢圓上的任意一點,求
PF1
PA
的取值范圍
(III)直線l:y=kx+m與橢圓相交于不同的兩點M,N(均不是長軸的頂點),AH⊥MN垂足為H且
AH
2
=
MH
HN
,求證:直線l恒過定點.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的左焦點F(-c,0)是長軸的一個四等分點,點A、B分別為橢圓的左、右頂點,過點F且不與y軸垂直的直線l交橢圓于C、D兩點,記直線AD、BC的斜率分別為k1,k2
(1)當點D到兩焦點的距離之和為4,直線l⊥x軸時,求k1:k2的值;
(2)求k1:k2的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的離心率是
3
2
,且經(jīng)過點M(2,1),直線y=
1
2
x+m(m<0)
與橢圓相交于A,B兩點.
(1)求橢圓的方程;
(2)當m=-1時,求△MAB的面積;
(3)求△MAB的內(nèi)心的橫坐標.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•威海二模)已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的離心率為e=
6
3
,過右焦點做垂直于x軸的直線與橢圓相交于兩點,且兩交點與橢圓的左焦點及右頂點構(gòu)成的四邊形面積為
2
6
3
+2

(Ⅰ)求橢圓的標準方程;
(Ⅱ)設(shè)點M(0,2),直線l:y=1,過M任作一條不與y軸重合的直線與橢圓相交于A、B兩點,若N為AB的中點,D為N在直線l上的射影,AB的中垂線與y軸交于點P.求證:
ND
MP
AB
2
為定值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的右焦點為F,過F作y軸的平行線交橢圓于M、N兩點,若|MN|=3,且橢圓離心率是方程2x2-5x+2=0的根,求橢圓方程.

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