Question

在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，且2acosA=ccosB+bcosC．
（1）求角A；
（2）若a=

3

，求b+c的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：正弦定理

專題：計(jì)算題,三角函數(shù)的求值,解三角形

分析：（1）運(yùn)用正弦定理和兩角和的正弦公式，化簡(jiǎn)三角函數(shù)式，即可得到A；
（2）由正弦定理，求出b=2sinB，c=2sinC，運(yùn)用兩角和的正弦公式，化簡(jiǎn)b+c，再由正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，即可得到所求范圍．

解答： 解：（1）∵2acosA=ccosB+bcosC
∴2sinAcosA=sinCcosB+sinBcosC=sin（B+C）=sinA
∴cosA=

1

2

，（0＜A＜π），
∴A=

π

3

；
（2）由（1）知B+C=

2π

3

，0＜B＜

2π

3

，
又∵a=

3

由正弦定理b=

asinB

sinA

=2sinB，c=2sinC，
∴b+c=2（sinB+sinC）=2（sinB+sin（

2π

3

-B））=3sinB+

3

cosB
=2

3

sin(B+

π

6

)，
∵0＜B＜

2π

3

∴

π

6

＜B+

π

6

＜

5π

6

，即有

1

2

＜sin（B+

π

6

）≤1，
∴b+c的范圍是(

3

，2

3

]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查正弦定理的運(yùn)用，考查三角函數(shù)的恒等變換應(yīng)用，考查正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．