Question

如圖，與拋物線C₁：y=x²相切于點(diǎn)P（a，a²）的直線l與拋物線C₂：y=-x²相交于A，B兩點(diǎn)，拋物線C₂在A，B處的切線相交于點(diǎn)Q．
（1）求證：點(diǎn)Q在拋物線C₁上；
（2）若∠QAB是直角，求實(shí)數(shù)a的值．

Answer 1

【答案】分析：（I）由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可求直線l的方程為y-a²=2a（x-a），由方程，消去y可得x²+2ax-a²=0可求，結(jié)合導(dǎo)數(shù)可求切線QA、QB的方程，從而可求Q，可證
（II）若∠QAB=90°，則?，結(jié)合方程的根與系數(shù)的關(guān)系及a（x₂-x₁）始終為負(fù)值，代入可求a
解法二：若∠QAB=90°，則?整理可得，，由x₁+x₂=-2a，消去x₂得，由于x₁與a同號(hào)可求x₁，進(jìn)而可求a
解答：證明：（I）∵y′=2x
∴y′|_x=a=2a，直線l的方程為y-a²=2a（x-a）（2分）
令A(yù)（），B（），由方程，消去y可得x²+2ax-a²=0
∴（4分）
∵y′|x=x₁=-2x₁，
∴切線QA的方程（1）
切線QB的方程（2）
（1）（2）聯(lián)立可得即Q （-a，a²）
∴點(diǎn)Q在拋物線C₁上（7分）
（II）若∠QAB=90°，則
∴
∴+a⁴-a²=0（11分）
∵=8a⁴
由于a（x₂-x₁）始終為負(fù)值
∴（13分）
∴
∴（15分）
解法二：若∠QAB=90°，則
∴
整理可得，（1）（11分）
∴x₁+x₂=-2a，消去x₂得，解得
由于x₁與a同號(hào)∴  （2）（13分）
把（2）代入（1）可得，（12-8）a²=
∴（15分）
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解曲線在某點(diǎn)的切線方程，直線與曲線的位置關(guān)系的應(yīng)用，向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示及方程的根與系數(shù)關(guān)系的應(yīng)用，屬于綜合試題