Question

8．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且$2{cos^2}\frac{C-A}{2}$•cosA-sin（C-A）•sinA+cos（B+C）=$\frac{1}{3}$，c=2$\sqrt{2}$．
（Ⅰ）求sinC；
（Ⅱ）求△ABC面積的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由三角函數(shù)恒等變換的應用，三角形內(nèi)角和定理化簡已知等式可得cosC=$\frac{1}{3}$，利用同角三角函數(shù)基本關系式可求sinC的值．
（Ⅱ）由已知及余弦定理、基本不等式可得8=a²+b²-$\frac{2}{3}$ab≥$\frac{4}{3}$ab，解得ab≤6，利用三角形面積公式即可得解．

解答 （本題滿分為12分）
解：（Ⅰ）在△ABC中，由$2{cos^2}\frac{C-A}{2}$•cosA-sin（C-A）•sinA+cos（B+C）=$\frac{1}{3}$，得
cos（C-A）cosA-sin（C-A）•sinA=cosC=$\frac{1}{3}$．…（4分）
即sinC=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．…（6分）
（Ⅱ）由余弦定理c²=a²+b²-2abcosC，得8=a²+b²-$\frac{2}{3}$ab≥$\frac{4}{3}$ab．…（9分）
當且僅當a=b時取等，即ab≤6，
所以S_△ABC=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{\sqrt{2}}{3}$ab≤2$\sqrt{2}$．
所以△ABC面積的最大值為2$\sqrt{2}$．…（12分）

點評 本題主要考查了三角函數(shù)恒等變換的應用，三角形內(nèi)角和定理，同角三角函數(shù)基本關系式，余弦定理，基本不等式，三角形面積公式在解三角形中的綜合應用，考查了轉化思想，屬于中檔題．