Question

已知不等式++…+＞，其中n為大于2的整數，[log₂n]表示不超過log₂n的最大整數．設數列{a_n}的各項為正，且滿足a₁=b（b＞0），a_n≤，n=2，3，4，…．證明：a_n＜，n=3，4，5，…．

Answer 1

【答案】分析：欲證明：a_n＜，設f（n）=++，首先利用數學歸納法證不等式a_n＜，再結合條件即可解決．
解答：證明：設f（n）=++，首先利用數學歸納法證不等式a_n＜，n=3，4，5．
（�。┊攏=3時，由a₃≤=≤=，知不等式成立．
（ⅱ）假設當n=k（k≥3）時，不等式成立，即a_k＜，則a_k+1≤=＜===
即當n=k+1時，不等式也成立．
由（�。�（ⅱ）知，a_n＜，n=3，4，5．．
又由已知不等式得a_n＜=，n=3，4，5，…
點評：本題主要考查數學歸納法，數學歸納法的基本形式．設P（n）是關于自然數n的命題，若：1°P（n）成立（奠基）；2°假設P（k）成立（k≥n），可以推出P（k+1）成立（歸納），則P（n）對一切大于等于n的自然數n都成立