定義在［－1，1］上的奇函數(shù)滿(mǎn)足，且當(dāng)，時(shí)，有．

（1）試問(wèn)函數(shù)f(x)的圖象上是否存在兩個(gè)不同的點(diǎn)A，B，使直線AB恰好與y軸垂直，若存在，求出A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由并加以證明.

（2）若對(duì)所有，恒成立，

求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

 

【答案】

（1）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義，設(shè)變量作差變形定號(hào)下結(jié)論。

（2）實(shí)數(shù)m的取值范圍是或或．

【解析】

試題分析：解：（1）假設(shè)函數(shù)的圖象上存在兩個(gè)滿(mǎn)足條件的點(diǎn)A，B，則它們的縱坐標(biāo)相同

任取，且， 則

  4分

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013062611575220066122/SYS201306261159330443124808_DA.files/image008.png">，

所以，

∴是［－1，1］上的增函數(shù)  6分

這與假設(shè)矛盾，所以假設(shè)不成立，

∴ 函數(shù)f(x)的圖象上是否存在兩個(gè)不同的點(diǎn)A，B，使直線AB恰好與y軸垂直  8分

（2）要使得對(duì)所有，恒成立，

只須，  11分

由(1)得是［－1，1］上的增函數(shù) ∴

∴對(duì)任意的恒成立  3分

令，則只須，

解之得：或或   15分

∴實(shí)數(shù)m的取值范圍是或或．  16分

考點(diǎn)：函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性

點(diǎn)評(píng)：解決的關(guān)鍵是利用單調(diào)性的定義證明，同事利用不等式恒成立來(lái)化簡(jiǎn)為分離參數(shù)的思想來(lái)求解最值得到參數(shù)的范圍。

 

練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

10、已知定義在[-1，1]上的函數(shù)y=f（x）的值域?yàn)閇-2，0]，則函數(shù)y=f（cos2x）的值域?yàn)椋ā　。?/div>

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知定義在區(qū)間（-1，1）上的函數(shù)f(x)=
ax+b
x2+1
為奇函數(shù)．且f(
1
2
)=
2
5
．
（1）、求實(shí)數(shù)a、b的值．
（2）、求證：函數(shù)f（x）在區(qū)間（-1，1）上是增函數(shù)．
（3）、解關(guān)于t的不等式f（t-1）+f（t）＜0．

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已知定義在區(qū)間（-1，1）上的偶函數(shù)f（x），在（0，1）上為增函數(shù)，f（a-2）-f（4-a2）＜0，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2003•北京）設(shè)y=f（x）是定義在區(qū)間[-1，1]上的函數(shù)，且滿(mǎn)足條件：（i）f（-1）=f（1）=0；（ii）對(duì)任意的u，v∈[-1，1]，都有|f（u）-f（v）|≤|u-v|．
（Ⅰ）證明：對(duì)任意的x∈[-1，1]，都有x-1≤f（x）≤1-x；
（Ⅱ）判斷函數(shù)g(x)=
1+x，x∈[-1，0)
1-x，x∈[0，1]
是否滿(mǎn)足題設(shè)條件；
（Ⅲ）在區(qū)間[-1，1]上是否存在滿(mǎn)足題設(shè)條件的函數(shù)y=f（x），且使得對(duì)任意的u，v∈[-1，1]，都有|f（u）-f（v）|=u-v．
若存在，請(qǐng)舉一例：若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知f(x)是定義在[-1，1]上的奇函數(shù)，且f(1)=1,若a、b∈［-1,1］,a+b≠0時(shí)，有＞0

判斷函數(shù)f(x)在［-1，1］上是增函數(shù)還是減函數(shù)，并證明你的結(jié)論.

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