Question

【題目】如圖，已知梯形中，，，，四邊形為矩形，，平面平面．

（1）求證：平面；

（2）求平面與平面所成二面角的正弦值；

（3）若點在線段上，且直線與平面所成角的正弦值為，求線段的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）.

【解析】

（1）取的中點，連接、，證明四邊形為平行四邊形，可得出，即，利用線面平行的判定定理可得出結論；

（2）取為原點，所在直線為軸，所在直線為軸建立空間直角坐標系，利用空間向量法可計算出平面與平面所成二面角的余弦值，進而可得出其正弦值；

（3）設，，計算出的坐標，結合直線與平面所成角的正弦值為求得實數的值，進而可求得的長.

（1）如下圖所示，設，取的中點，連接、，

四邊形為矩形，，為的中點，

為的中點，且，

，，且，

所以，四邊形為平行四邊形，則，即，

平面，平面，平面；

（2）四邊形為矩形，則，平面平面，平面平面，平面，平面，

取為原點，所在直線為軸，所在直線為軸建立如圖所示的空間直角坐標系，

則、、、，

設平面的法向量為，，，

由，令，則，，，

設平面的法向量為，，，

由，令，則，，則，

，，

因此，平面與平面所成二面角的正弦值為；

（3）點在線段上，設，

，

由題意得，

整理得，，解得，此時，則.