Question

9．已知O為坐標(biāo)原點，向量$\overrightarrow{OA}$=（sinα，1），$\overrightarrow{OB}$=（cosα，0），$\overrightarrow{OC}$=（-sinα，2），點P是直線AB上的一點，且$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{BP}$．
（Ⅰ）若O，P，C三點共線，求tanα的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）條件下，求$\frac{sin2α+sinα}{{2cos2α+2{{sin}^2}α+cosα}}$+sin2α的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)點P的坐標(biāo)為（x，y），利用平面向量的坐標(biāo)表示和共線定理，列出方程求出sinα、cosα的關(guān)系，即得tanα的值；
（Ⅱ）利用三角函數(shù)的恒等變換和同角的三角函數(shù)關(guān)系，化簡并求值即可．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)點P的坐標(biāo)為（x，y），
則$\overrightarrow{AB}$=（cosα-sinα，-1），$\overrightarrow{BP}$=（x-cosα，y）；
∵$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{BP}$，
∴x=2cosα-sinα，y=1；
∴點P的坐標(biāo)為（2cosα-sinα，-1）； …..（3分）
由O、P、C三點共線知：$\overrightarrow{OP}$∥$\overrightarrow{OC}$，
∴（-1）×（-sinα）=2×（2cosα-sinα），
∴tanα=$\frac{4}{3}$，…..（6分）
（Ⅱ）$\frac{sin2α+sinα}{{2cos2α+2{{sin}^2}α+cosα}}$+sin2α
=$\frac{2sinα•cosα+sinα}{{2（{{cos}^2}α-{{sin}^2}α）+2{{sin}^2}α+cosα}}+sin2α$…..（7分）
=$\frac{sinα（2cosα+1）}{cosα（2cosα+1）}+\frac{2sinα•cosα•}{{{{sin}^2}α+{{cos}^2}α}}$…..（9分）
=$tanα+\frac{2tanα}{{1+{{tan}^2}α}}$…..（10分）
=$\frac{4}{3}$+$\frac{2×\frac{4}{3}}{1{+（\frac{4}{3}）}^{2}}$
=$\frac{172}{75}$．…..（12分）

點評 本題考查了平面向量的坐標(biāo)表示與共線定理的應(yīng)用問題，也考查了三角恒等變換和同角的三角函數(shù)關(guān)系的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題目．