Question

13．如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，側(cè)面PBC是等邊三角形平面PBC⊥平面ABCD，BC=2，AB=$\sqrt{2}$，∠ABC=45°．
（1）求異面直線BD，PC所成角的余弦值；
（2）點(diǎn)E在線段PC上，AE與平面PAB所成角的正弦值為$\frac{\sqrt{42}}{21}$，求$\frac{PE}{PC}$的值．

Answer 1

分析 （1）建立空間坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)法即可求異面直線BD，PC所成角的余弦值；
（2）求出平面的法向量，利用向量法即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）∵BC=2，AB=$\sqrt{2}$，∠ABC=45°，
∴AC=$\sqrt{2}$，則∠ACD=90°，
故以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，以CD，CA，分別為x，y軸，建立空間直角坐標(biāo)系如圖：
∵側(cè)面PBC是等邊三角形，
∴C（0，0，0），D（$\sqrt{2}$，0，0），A（0，$\sqrt{2}$，0），
則$\overrightarrow{CB}$=$\overrightarrow{DA}$=（$-\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$，0），即B（$-\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$，0），
則BC的中點(diǎn)F（$-\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$，0），則P（$-\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\sqrt{3}$），
則$\overrightarrow{CP}$=（$-\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{BD}$=（2$\sqrt{2}$，-$\sqrt{2}$，0），
則$\overrightarrow{CP}$•$\overrightarrow{BD}$=（2$\sqrt{2}$，-$\sqrt{2}$，0）•（$-\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\sqrt{3}$）=-3，
|$\overrightarrow{CP}$|=2，|$\overrightarrow{BD}$|=$\sqrt{10}$，
則cos＜$\overrightarrow{CP}，\overrightarrow{BD}$＞=$\frac{\overrightarrow{CP}•\overrightarrow{BD}}{|\overrightarrow{CP}||\overrightarrow{BD}|}$=$\frac{-3}{2\sqrt{10}}=-\frac{3\sqrt{10}}{20}$．
故異面直線BD，PC所成角的余弦值為$\frac{3\sqrt{10}}{20}$．
（2設(shè)平面PAB的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\overrightarrow{AB}$=（$-\sqrt{2}$，0，0），$\overrightarrow{BP}$=（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\sqrt{3}$），
則由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AB}=-\sqrt{2}x=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BP}=\frac{\sqrt{2}}{2}x-\frac{\sqrt{2}}{2}y+\sqrt{3}z=0}\end{array}\right.$，
令z=1，則x=0，y=$\sqrt{6}$，即$\overrightarrow{n}$=（0，$\sqrt{6}$，1），
∵E在線段PC上，
∴設(shè)$\frac{PE}{PC}$=m，E（x，y，z）
則$\overrightarrow{PE}=m\overrightarrow{PC}$=（$\frac{\sqrt{2}}{2}$m，$-\frac{\sqrt{2}}{2}$m，-$\sqrt{3}$m），
即（x+$\frac{\sqrt{2}}{2}$，y-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，z-$\sqrt{3}$）=（$\frac{\sqrt{2}}{2}$m，$-\frac{\sqrt{2}}{2}$m，-$\sqrt{3}$m），
解得x=$\frac{\sqrt{2}}{2}$m-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，y=$\frac{\sqrt{2}}{2}$-$\frac{\sqrt{2}}{2}$m，z=$\sqrt{3}$-$\sqrt{3}$m，
即E（$\frac{\sqrt{2}}{2}$m-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$-$\frac{\sqrt{2}}{2}$m，$\sqrt{3}$-$\sqrt{3}$m），
則$\overrightarrow{AM}$=（$\frac{\sqrt{2}}{2}$m-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$m，$\sqrt{3}$-$\sqrt{3}$m），則|$\overrightarrow{AM}$|=$\sqrt{\frac{7}{2}（m-1）^{2}+{m}^{2}}$，
∵AE與平面PAB所成角的正弦值為$\frac{\sqrt{42}}{21}$，
∴|cos＜$\overrightarrow{AM}，\overrightarrow{n}$＞|=$\frac{|\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{AM}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\sqrt{3}m}{\sqrt{7}•\sqrt{\frac{7}{2}（m-1）^{2}+{m}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{42}}{21}$，
解得m=$\frac{1}{2}$，
故E是PC的中點(diǎn)，
則$\frac{PE}{PC}$=$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評 本題主要考查空間角的計算，利用空間向量法是解決本題的關(guān)鍵．，綜合性較強(qiáng)，運(yùn)算量較大．