Question

5．在直角坐標系xOy中，曲線C₁的方程為$\frac{x^2}{9}+{y^2}=1$．以坐標原點為極點，以x軸的正半軸為極軸，建立極坐標系，曲線C₂的極坐標方程為ρ²-8ρsinθ+15=0．
（Ⅰ）寫出C₁的參數(shù)方程和C₂的直角坐標方程；
（Ⅱ）設(shè)點P在C₁上，點Q在C₂上，求|PQ|的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用三種方程的轉(zhuǎn)化方法，寫出C₁的參數(shù)方程和C₂的直角坐標方程；
（Ⅱ）設(shè)P（3cosα，sinα），則|PC₂|=$\sqrt{（3cosα-4）^{2}+si{n}^{2}α}$=$\sqrt{8（cosα-\frac{3}{2}）^{2}-1}$，即可求|PQ|的最大值．

解答 解：（Ⅰ）曲線C₁的方程為$\frac{x^2}{9}+{y^2}=1$，參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=3cosα}\\{y=sinα}\end{array}\right.$（α為參數(shù)）．
曲線C₂的極坐標方程為ρ²-8ρsinθ+15=0，直角坐標方程為x²+y²-8y+15=0，即（x-4）²+y²=1；
（Ⅱ）設(shè)P（3cosα，sinα），則|PC₂|=$\sqrt{（3cosα-4）^{2}+si{n}^{2}α}$=$\sqrt{8（cosα-\frac{3}{2}）^{2}-1}$，
∴cosα=-1，|PC₂|_max=7，
∴|PQ|的最大值為7+1=8．

點評 本題考查三種方程的轉(zhuǎn)化，考查參數(shù)方程的運用，考查三角函數(shù)知識，屬于中檔題．