Question

定義在（0，+∞）上的函數(shù)，其中e=2.71828…是自然對數(shù)的底數(shù)，a∈R．
（1）若函數(shù)f（x）在點x=1處連續(xù)，求a的值；
（2）若函數(shù)f（x）為（0，1）上的單調函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍，并判斷此時函數(shù)f（x）在（0，+∞）上是否為單調函數(shù)．

Answer 1

【答案】分析：（1）由于f（1）=1，且，又根據(jù)f（x）在點x=1處連續(xù)，即可求出a值．
（2）當x∈（0，1）時，，利用
從而得出f（x）在（0，1）上必為增函數(shù)，得出-2x²+ax+1＞0在（0，1）上恒成立，結合函數(shù)的連續(xù)性即可求得a的范圍．再對a分類討論研究函數(shù)的單調性即可得到f（x）在（0，+∞）上不是增函數(shù)的結論．
解答：解：（1）∵f（1）=1，
且，
又已知f（x）在點x=1處連續(xù)，
∴，
∴e^a-1=1，
∴a=1．（4分）
（2）當x∈（0，1）時，．此時，

∵
∴f′（x）不可能在（0，1）上恒小于0，故f（x）在（0，1）上必為增函數(shù)，
∴-2x²+ax+1＞0在（0，1）上恒成立．
在（0，1）上恒成立．（8分）
設，
∵u（x）在（0，1）上是增函數(shù)，u（x）在（0，1]上的最大值為u（1）=1，
且u（x）在（0，1]上連續(xù)，
故有a≥1．（10分）
當a=1時，f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)；
當a＞1時，=e^a-1＞1=f（1），
故此時f（x）在（0，+∞）上不是增函數(shù)．（12分）
點評：本小題主要考查函數(shù)單調性的應用、函數(shù)的單調性與導數(shù)的關系、函數(shù)的連續(xù)性等基礎知識，考查運算求解能力，考查化歸與轉化思想．屬于基礎題．