Question

11．矩形ABCD滿足AB=2，AD=1，點A、B分別在射線OM，ON上運動，∠MON為直角，當C到點O的距離最大時，∠ABO的大小為$\frac{π}{8}$．

Answer 1

分析 由題意，畫出圖形，建立直角坐標系．設(shè)∠OAB=θ，則∠CBE=θ．θ∈（0，$\frac{π}{2}$）．可得B（0，2sinθ），C（sinθ，cosθ+2sinθ）．|OC|²=sin²θ+（cosθ+2sinθ）²=2$\sqrt{2}$sin（2θ$-\frac{π}{4}$）+3，利用θ的范圍結(jié)合正弦函數(shù)的有界性求OC的最大值時θ的大小，即可得出∠ABO的大�。�

解答 解：如圖所示，
建立直角坐標系．
設(shè)∠OAB=θ，則∠CBE=θ．θ∈（0，$\frac{π}{2}$）．
B（0，2sinθ），C（sinθ，cosθ+2sinθ）．
∴|OC|²=sin²θ+（cosθ+2sinθ）²
=1+4sinθcosθ+4sin²θ
=1+2sin2θ+2（1-cos2θ）
=2$\sqrt{2}$sin（2θ$-\frac{π}{4}$）+3，
∵θ∈（0，$\frac{π}{2}$），∴（θ-$\frac{π}{4}$∈（-$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$）．
∴當2θ-$\frac{π}{4}$=$\frac{π}{2}$，即θ=$\frac{3π}{8}$時，|OC|²取得最大值是2$\sqrt{2}$+3；
∴此時∠ABO的大小為$\frac{π}{8}$；
故答案為：$\frac{π}{8}$．

點評 本題考查了兩點之間的距離公式、點的坐標、兩角和差的正弦公式、倍角公式、三角函數(shù)的單調(diào)性與值域，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．