Question

直線y-ax-1=0與雙曲線3x²-y²=1相交于A、B兩點(diǎn)，當(dāng)a為何值時(shí)，A、B在雙曲線的同一支上？當(dāng)a為何值時(shí)，A、B分別在雙曲線的兩支上？

Answer 1

分析：在方程組

y-ax-1=0 3x2-y2=1

中消去y得，（3-a²）x²-2ax-2=0．當(dāng)a≠±

3

時(shí)，△=（-2a）²+8（3-a²）=24-4a²，由△＞0得，-

6

＜a＜

6

且a≠±

3

時(shí)，方程組有兩組有兩解，此時(shí)直線與雙曲線有兩個(gè)交點(diǎn)．由此能夠?qū)С霎?dāng)-

3

＜a＜

3

時(shí)，A、B兩點(diǎn)在雙曲線的兩支上．

解答：解：在方程組

y-ax-1=0 3x2-y2=1

中消去y得，（3-a²）x²-2ax-2=0；
①當(dāng)a≠±

3

時(shí)，△=（-2a）²+8（3-a²）=24-4a²，
由△＞0得，-

6

＜a＜

6

且a≠±

3

時(shí)，方程組有兩組有兩解，
此時(shí)直線與雙曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，若要A、B在雙曲線同一支上，則方程①的兩根同號(hào)，
故x₁•x₂=

2

a2-3

＞0，
∴a＞

3

或a＜-

3

．
∴當(dāng)-

6

＜a＜

3

或

3

＜a＜

6

時(shí)，
A、B兩點(diǎn)在雙曲線的同一支上；
當(dāng)-

3

＜a＜

3

時(shí)，A、B兩點(diǎn)在雙曲線的兩支上．

點(diǎn)評(píng)：本題考查圓錐曲線的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．