Question

【題目】已知函數(shù).

（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）.

【解析】試題分析：（1）先求函數(shù)的定義域，求導(dǎo)通分后發(fā)現(xiàn)分母是含有參數(shù)的二次函數(shù)，根據(jù)其判別式進(jìn)行分類討論，由此求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.（2）將和代入原函數(shù)，可將原不等式化簡為恒成立，利用分離常數(shù)法，可將問題轉(zhuǎn)化為切線的斜率來求解.

試題解析：（1），

令，判別式為：，

①：當(dāng)，得，

此時(shí)，從而，

所以在上單調(diào)遞增.

②：當(dāng)，即，

令，得方程的根

（舍去），，

若，此時(shí)，，得，

由，得，

∴在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，

若，此時(shí)的對(duì)稱軸為，

，

∴，從而在上單調(diào)遞增.

綜上：當(dāng)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)，在上單調(diào)遞增，單調(diào)遞減.

（2）由題意有恒成立，

即，

即恒成立，

當(dāng)時(shí)，不等式顯然恒成立，

當(dāng)時(shí)，，

所以，則，于是

，在上恒成立，

令，

設(shè)，，

則，且兩點(diǎn)在的圖象上，

又，

故，

所以，

故為所求.