Question

1已知函數(shù)，，a，b∈R，且g（0）=2，
（Ⅰ）求f（x）、g（x）的解析式；
（Ⅱ）h（x）為定義在R上的奇函數(shù)，且滿足下列性質：①h（x+2）=-h（x）對一切實數(shù)x恒成立；②當0≤x≤1時．
（�。┣螽�-1≤x＜3時，函數(shù)h（x）的解析式；
（ⅱ）求方程在區(qū)間[0，2012]上的解的個數(shù)．

Answer 1

解：（Ⅰ）由，得，
解得，a=-1，b=1．
∴，．
（Ⅱ）（�。┊�0≤x≤1時，，
∴當-1≤x≤0時，，
∴．
當1＜x＜3時，-1＜x-2＜1，
∴．
故
（ⅱ）當-1≤x＜3時，由，得x=-1．
∵h（x+2）=-h（x），
∴h（x+4）=-h（x+2）=-[-h（x）]=h（x），
∴h（x）是以4為周期的周期函數(shù)．
故的所有解是x=4n-1（n∈Z），
令0≤4n-1≤2012，則．
而n∈Z，∴1≤n≤503（n∈Z），
∴在[0，2012]上共有503個解．
分析：（Ⅰ）利用待定系數(shù)法，由條件得出關于a，b的方程，解得，a=-1，b=1即可得出f（x）、g（x）的解析式；
（Ⅱ）（�。├卯�0≤x≤1時函數(shù)的解析式，結合函數(shù)是偶函數(shù)得出當-1≤x≤0時的解析式，最后利用題中的性質即可得出函數(shù)h（x）的解析式；
（ⅱ）先利用題中條件：“h（x+2）=-h（x）”得到h（x）是以4為周期的周期函數(shù)．從而的所有解是x=4n-1（n∈Z），進一步即可得出在[0，2012]上解的個數(shù)．
點評：本小題主要考查函數(shù)解析式的求解及常用方法、根的存在性及根的個數(shù)判斷等基本知識，考查函數(shù)的性質的方法，考查分析問題、解決問題的能力．