Question

已知函數(shù)f（x）對(duì)任意x∈R都有f（x+4）-f（x）=2f（2），若y=f（x-1）的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱，且f（1）=2，則f（1003）=（ ）
A．2
B．3
C．4
D．6

Answer 1

【答案】分析：由函數(shù)f（x-1）的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱且由y=f（x-1）向左平移1個(gè)單位可得y=f（x）的圖象可知函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于x=0對(duì)稱即函數(shù)y=f（x）為偶函數(shù)，在已知條件中令x=-2可求f（2）=0，從而求得函數(shù)的周期，利用所求周期以及偶函數(shù)的性質(zhì)即可求解．
解答：解：：∵函數(shù)f（x-1）的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱且把y=f（x-1）向左平移1個(gè)單位可得y=f（x）的圖象，
∴函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于x=0對(duì)稱，即函數(shù)y=f（x）為偶函數(shù)．
∵f（x+4）-f（x）=2f（2），
令x=-2可得f（2）-f（-2）=2f（2），則f（2）=0．
從而可得f（x+4）=f（x）即函數(shù)是以4為周期的周期函數(shù)，
∴f（1003）=f（250×16+3）=f（3）=f（-1）=f（1）=2，
故選A．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考出了函數(shù)的圖象的平移及函數(shù)圖象的對(duì)稱性的應(yīng)用，利用賦值求解抽象函數(shù)的函數(shù)值，函數(shù)周期的求解是解答本題的關(guān)鍵所在，屬于中檔題．