Question

關于α的方程cos²α+（1-m）sinα-2=0在[-

π

6

，

π

2

]上有解，則實數(shù)m的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：三角函數(shù)的最值

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用,導數(shù)的概念及應用,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：依題意得1-m=

2-cos2α

sinα

=

1+sin2α

sinα

=sinα+

1

sinα

，分α∈[-

π

6

，0）與α∈（0，

π

2

]兩類討論，利用雙鉤函數(shù)g（t）=t+

1

t

，t∈[-

1

2

，1]的單調(diào)性即可求得最值，解相應的不等式即可求得實數(shù)m的取值范圍．

解答： 解：∵方程cos²α+（1-m）sinα-2=0在[-

π

6

，

π

2

]上有解，
當α=0時，sinα=0，顯然該方程無解；
∴α≠0；
由cos²α+（1-m）sinα-2=0得：1-m=

2-cos2α

sinα

=

1+sin2α

sinα

=sinα+

1

sinα

；
令t=sinα，α∈[-

π

6

，

π

2

]，則t∈[-

1

2

，1]，
則g（t）=t+

1

t

，t∈[-

1

2

，1]，
當α∈[-

π

6

，0）時，t∈[-

1

2

，0]，g′（t）=1-

1

t2

＜0，
∴g（t）=t+

1

t

在[-

1

2

，0）上單調(diào)遞減，[g（t）]_max=g（-

1

2

）=-

5

2

，
∵cos²α+（1-m）sinα-2=0在[-

π

6

，0）上有解，
∴1-m≤-

5

2

，解得m≥

7

2

；
當α∈（0，

π

2

]時，t∈（0，1]，g′（t）=1-

1

t2

＜0，同理可得，[g（t）]_min=g（1）=

5

2

，
依題意，1-m≥

5

2

，解得m≤-

3

2

；
綜上所述，實數(shù)m的取值范圍是（-∞，-

3

2

]∪[

7

2

，+∞），
故答案為：（-∞，-

3

2

]∪[

7

2

，+∞）．

點評：本題考查三角函數(shù)的最值，著重考查等價轉(zhuǎn)化思想、分類討論思想、雙鉤函數(shù)的性質(zhì)及導數(shù)法求最值的綜合應用，屬于難題．