Question

給出下列命題：
①．若函數y=f（x）在區(qū)間（a，b）上單調遞增，則f′（x）＞0；
②．若函數y=f（x）在區(qū)間[a，b]上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，則它在該區(qū)間上必有最值；
③．若函數y=f（x）和y=g（x）同時在x=a處取得極大值，則F（x）=f（x）+g（x）在x=a處不一定取得極大值；
④．若0＜x＜

π

2

，則tanx＞x+

x3

3

．
其中為真命題的有

 

．（填相應的序號）

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應用

專題：函數的性質及應用

分析：根據函數單調性與導函數符號的關系，可判斷①；根據函數最值的幾何特征，可判斷②；根據極值的幾何特征，可判斷③；利用導數法，判斷出tanx-（x+

x3

3

）＞0在（0，

π

2

）上恒成立，可判斷④．

解答： 解：若函數y=f（x）在區(qū)間（a，b）上單調遞增，則f′（x）≥0，故①錯誤；
若函數y=f（x）在區(qū)間[a，b]上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，則它在該區(qū)間上必有最值，故②正確；
若函數y=f（x）和y=g（x）同時在x=a處取得極大值，則F（x）=f（x）+g（x）在x=a處必取得極大值，故③錯誤；
令y=tanx-（x+

x3

3

），則y′=tan²x-x²，當0＜x＜

π

2

時，y′＞0恒成立，故y=tanx-（x+

x3

3

）在（0，

π

2

）上為增函數，
又∵y|_x=0=tanx-（x+

x3

3

）=0，故y=tanx-（x+

x3

3

）＞0在（0，

π

2

）上恒成立，故④正確；
故答案為：②④．

點評：本題以命題的真假判斷為載體，考查了函數單調性與導函數符號的關系，函數最（極）值的幾何特征，不等式恒成立，綜合性可，判斷難度大，屬于難題．