Question

如圖，四邊形么BDC內(nèi)接于圓，BD=CD，過C點的圓的切線與AB的延長線交于E點．
（I）求證：∠EAC=2∠DCE；
（Ⅱ）若BD⊥AB，BC=BE，AE=2，求AB的長．

Answer 1

考點：與圓有關(guān)的比例線段,弦切角

專題：推理和證明

分析：（Ⅰ）由等腰三角形性質(zhì)得∠BCD=∠CBD，由弦切角定理得∠ECD=∠CBD，從而∠BCE=2∠ECD，由此能證明∠EAC=2∠ECD．
（Ⅱ）由已知得AC⊥CD，AC=AB，由BC=BE，得AC=EC．由切割線定理得EC²=AE•BE，由此能求出AB的長．

解答： （Ⅰ）證明：因為BD=CD，所以∠BCD=∠CBD．
因為CE是圓的切線，所以∠ECD=∠CBD．
所以∠ECD=∠BCD，所以∠BCE=2∠ECD．
因為∠EAC=∠BCE，所以∠EAC=2∠ECD．…（5分）
（Ⅱ）解：因為BD⊥AB，所以AC⊥CD，AC=AB．
因為BC=BE，所以∠BEC=∠BCE=∠EAC，所以AC=EC．
由切割線定理得EC²=AE•BE，即AB²=AE•（ AE-AB），即
AB²+2 AB-4=0，解得AB=

5

-1．…（10分）

點評：本題考查一個角是另一個角的二倍的證明，考查線段長的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意弦切角定理、切割線定理的合理運用．