分析 (Ⅰ)根據(jù)線面垂直的判定定理證明DE⊥平面PAC,然后根據(jù)DE∥BC的性質(zhì)即即可證明PA⊥BC;
(Ⅱ)建立空間坐標(biāo)系,求出平面的法向量,利用向量法,利用向量法求直線BP與平面PCD所成角的正弦值.
解答 (Ⅰ)證明:∵∠ADC+∠DAB=180°,
∴CD∥AB,
∵AB=2AD=2DC=2BC=4,
∴AB=4,AD=DC=BC=2,
取AB的中點(diǎn)E,則四邊形AECD是菱形,且∠DAE=60°,
連接DE,AC相交于O,
則AC⊥DE,
∵PA=PC,∴△PAC是等腰三角形,
則PO⊥AC,
∵平面PAC⊥平面ABCD,
∴PO⊥平面ABCD,即PO是點(diǎn)P到平面ABCD的距離,即PO=√3.
∵DE⊥AC,平面PAC⊥平面ABCD,
∴DE⊥平面PAC,
∵PA?平面PAC,
∴DE⊥PA,
∵BC∥DE,
∴BC⊥PA
即PA⊥BC;
(Ⅱ)建立以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),OA,OE,OP分別為x,y,z軸的空間直角坐標(biāo)系如圖:
則OE=OD=1,OA=OC=√3.
則P(0,0,√3),C(-√3,0,0),B(-√3,2,0),D(0,-1,0)
則→PC=(-√3,0,√3),→PD=(0,-1,-√3),
設(shè)平面PCD的法向量為→m=(x,y,z),
由→m•→PC=-√3x+√3z=0,→m•→PD=-y-√3z=0,
令z=1,則x=1,y=-√3,
則→m=(1,-√3,1),
→PB=(-√3,2,-√3),
設(shè)直線BP與平面PCD所成角為θ,
則sinθ=|cos<→m,→PB>|=|→m•→PB|→m||→PB||=|−√3−2√3−√3√1+1+3•√3+4+3|=4√3√5•√14=2√21035,
即求直線BP與平面PCD所成角的正弦值是2√21035.
點(diǎn)評(píng) 本題主要考查線面垂直的應(yīng)用以及線面角的求解,根據(jù)直線平行的性質(zhì)以及線面垂直的判定定理,以及建立空間坐標(biāo)系,求出平面的法向量,利用向量法求線面角是解決本題的關(guān)鍵.綜合性較強(qiáng),有一定的難度.
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