Question

2．設(shè)拋物線C：y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)為F，A是拋物線上橫坐標(biāo)為4的點(diǎn)，|AF|=5．
（1）求拋物線C的方程；
（2）設(shè)過(guò)點(diǎn)F且斜率為1的直線l交拋物線C于M，N兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求△OMN的面積．

Answer 1

分析 （1）利用拋物線的定義求出拋物線的p，即可頂點(diǎn)拋物線方程．
（2）求出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)F（1，0），直線AB的方程為y=x-1，聯(lián)立$\left\{{\begin{array}{l}{y=x-1}\\{{y^2}=4x}\end{array}}\right.$消y得：x²-6x+1=0，利用韋達(dá)定理求出|AB|，求出O到直線AB的距離，然后求解數(shù)據(jù)線的面積．

解答 解：（1）拋物線C的準(zhǔn)線方程為：$x=-\frac{p}{2}$
由拋物線的定義可知：$\frac{p}{2}=5-4$
∴p=2
∴拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為y²=4x．       …（4分）
（2）由已知，F(xiàn)（1，0），直線AB的方程為y=x-1，…（6分）
聯(lián)立$\left\{{\begin{array}{l}{y=x-1}\\{{y^2}=4x}\end{array}}\right.$消y得：x²-6x+1=0，
所以x₁+x₂=6，…（8分）…（8分）
所以|AB|=x₁+x₂+p=8，…（10分）
又因?yàn)镺到直線AB的距離$d=\frac{1}{{\sqrt{2}}}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
所以${S_{△OMN}}=\frac{1}{2}×\frac{{\sqrt{2}}}{2}×8=2\sqrt{2}$．　　　　…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，直線與拋物線的位置關(guān)系的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．