Question

已知二次函數(shù)y=g（x）的導(dǎo)函數(shù)的圖象與直線y=2x平行，且y=g（x）在x=-1處取得極小值m-1（m≠0）．設(shè)．
（1）若曲線y=f（x）上的點(diǎn)P到點(diǎn)Q（0，2）的距離的最小值為，求m的值；
（2）k（k∈R）如何取值時(shí)，函數(shù)y=f（x）-kx存在零點(diǎn)，并求出零點(diǎn)．

Answer 1

【答案】分析：（1）先根據(jù)二次函數(shù)的頂點(diǎn)式設(shè)出函數(shù)g（x）的解析式，然后對其進(jìn)行求導(dǎo)，根據(jù)g（x）的導(dǎo)函數(shù)的圖象與直線y=2x平行求出a的值，進(jìn)而可確定函數(shù)g（x）、f（x）的解析式，然后設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式表示出|PQ|，再由基本不等式表示其最小值即可．
（2）先根據(jù)（1）的內(nèi)容得到函數(shù)y=f（x）-kx的解析式，即（1-k）x²+2x+m=0，然后先對二次項(xiàng)的系數(shù)等于0進(jìn)行討論，再當(dāng)二次項(xiàng)的系數(shù)不等于0時(shí)，即為二次方程時(shí)根據(jù)方程的判別式進(jìn)行討論即可得到答案．
解答：解：（1）依題可設(shè)g（x）=a（x+1）²+m-1（a≠0），則g'（x）=2a（x+1）=2ax+2a；
又g'（x）的圖象與直線y=2x平行∴2a=2∴a=1
∴g（x）=（x+1）²+m-1=x²+2x+m，，
設(shè)P（x_o，y_o），則=
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，|PQ|²取得最小值，即|PQ|取得最小值
當(dāng)m＞0時(shí)，解得
當(dāng)m＜0時(shí)，解得

（2）由（x≠0），得（1-k）x²+2x+m=0（*）
當(dāng)k=1時(shí)，方程（*）有一解，函數(shù)y=f（x）-kx有一零點(diǎn)；
當(dāng)k≠1時(shí)，方程（*）有二解?△=4-4m（1-k）＞0，
若m＞0，，
函數(shù)y=f（x）-kx有兩個(gè)零點(diǎn)，即；
若m＜0，，
函數(shù)y=f（x）-kx有兩個(gè)零點(diǎn)，即；
當(dāng)k≠1時(shí)，方程（*）有一解?△=4-4m（1-k）=0，，
函數(shù)y=f（x）-kx有一零點(diǎn)
綜上，當(dāng)k=1時(shí)，函數(shù)y=f（x）-kx有一零點(diǎn)；
當(dāng)（m＞0），或（m＜0）時(shí)，
函數(shù)y=f（x）-kx有兩個(gè)零點(diǎn)；
當(dāng)時(shí)，函數(shù)y=f（x）-kx有一零點(diǎn)．
點(diǎn)評：本題主要考查二次函數(shù)的頂點(diǎn)式、導(dǎo)數(shù)的幾何意義、函數(shù)零點(diǎn)與方程根的關(guān)系．主要考查基礎(chǔ)知識的綜合運(yùn)用和學(xué)生的計(jì)算能力．