Question

在數(shù)列{a_n}中，a₁=b(b≠0)，前n項(xiàng)和S_n構(gòu)成公比為q的等比數(shù)列．

(Ⅰ)求證：數(shù)列{a_n}不是等比數(shù)列；

(Ⅱ)設(shè)b_n＝a₁S₁＋a₂S₂＋…＋a_nS_n，|q|＜1，求．

Answer 1

答案：
解析：

　　證明：(Ⅰ)由已知S₁＝a₁＝b　∵{S_n}成等比數(shù)列，且公比為q

　　∴S_n＝bq^n－1，∴S_n－1＝b·q^n－2(n≥2)

　　當(dāng)n≥2時，a_n＝S_n－S_n－1＝bq^n－1－bq^n－2＝b·(q－1)·q^n－2………2分

　　故當(dāng)q≠1時，＝＝q

　　而＝＝q－1≠q，∴{a_n}不是等比數(shù)列．………………4分

　　當(dāng)q＝1，n≥2時，a_n＝0，所以{a_n}也不是等比數(shù)列

　　綜上所述，{a_n}不是等比數(shù)列．…………………………6分

　　解：(Ⅱ)∵|q|＜1，由(1)知n≥2，a₂，a₃，a₄，…，a_n構(gòu)成公比為q的等比數(shù)列

　　∴a₂S₂，a₃S₃，…，a_nS_n是公比為q²的等比數(shù)列．……………8分

　　∴b_n＝b²＋a₂S₂·(1＋q²＋q⁴＋…＋q^2n－4)

　　∵S₂＝bq，a₂＝S₂－S₁＝bq－b

　　∴a₂S₂＝b²q(q－1)

　　∴b_n＝b²＋b²q(q－1)·……………………………10分

　　∵|q|＜1∴q^2n－2＝0

　　∴b_n＝b²＋b²q(q－1)·＝…………………12分