Question

5．如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長為4的菱形，∠BAD=60°，側(cè)面PAD⊥底面ABCD，且PA=PD=$\sqrt{13}$，M，N分別為BC，PA的中點
（1）求證：BN∥平面PDM
（2）求平面PAB與平面PCD所成的銳二面角的大小．

Answer 1

分析 （1）取AD中點E，連接BE，NE，則BE∥MD，NE∥PD，利用面面平行，證明線面平行；
（2）利用面積關(guān)系，求平面PAB與平面PCD所成的銳二面角的大�。�

解答 （1）證明：取AD中點E，連接BE，NE，則BE∥MD，NE∥PD，
∵BE∩NE=E，MD∩PD=D，
∴平面BEN∥平面MDP，
∵BN?平面BEN，
∴BN∥平面PDM
（2）解：連接EP，EC，則PE=3，EB=2$\sqrt{3}$，EC=$\sqrt{16+4-2×4×2×（-\frac{1}{2}）}$=2$\sqrt{7}$
∴PB=$\sqrt{21}$，PC=$\sqrt{37}$，
∴cos∠PAB=$\frac{13+16-21}{2\sqrt{13}×4}$=-$\frac{1}{4\sqrt{13}}$，cos∠PDC=$\frac{13+16-37}{2\sqrt{13}×4}$=-$\frac{1}{\sqrt{13}}$，
∴sin∠PAB=$\frac{\sqrt{207}}{4\sqrt{13}}$，sin∠PDC=$\frac{\sqrt{12}}{\sqrt{13}}$，
∴平面PAB與平面PCD所成的銳二面角的余弦值為$\frac{8}{\sqrt{69}}$，大小為arccos$\frac{8\sqrt{69}}{69}$．

點評 本題考查線面平行的判定，考查二面角平面角的計算，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．