Question

設(shè)方程2^x+x+2=0和log₂x+x+2=0的根分別為p和q，凼數(shù)f（x）=（x+p）（x+q），則關(guān)于x的不等式f（x²+2x+2）＜f（0）的解集是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)與方程的綜合運(yùn)用

專(zhuān)題：綜合題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：把兩個(gè)方程分別看作指數(shù)函數(shù)與直線y=-x-2的交點(diǎn)B和對(duì)數(shù)函數(shù)與直線y=-x-2的交點(diǎn)A的橫坐標(biāo)分別為p和q，而指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)則關(guān)于y=x對(duì)稱(chēng)，求出AB的中點(diǎn)坐標(biāo)得到p+q=-2；然后把函數(shù)f（x）化簡(jiǎn)后得到一個(gè)二次函數(shù)，對(duì)稱(chēng)軸為直線x=-

p+q

2

=1，所以x²+2x+2≥1，f（2）=f（0）且當(dāng)x＞1時(shí)，函數(shù)為增函數(shù)，即可得到答案．

解答： 解：方程2^x+x+2=0和方程log₂x+x+2=0可以分別看作方程方程2^x=-x-2和方程log₂x=-x-2，
方程2^x+x+2=0和方程log₂x+x+2=0的根分別為p和q即分別為函數(shù)y=2^x與函數(shù)y=-x-2的交點(diǎn)B橫坐標(biāo)為p；y=log₂^x與y=-x-2的交點(diǎn)C橫坐標(biāo)為q．
由y=2^x與y=log₂^x互為反函數(shù)且關(guān)于y=x對(duì)稱(chēng)，所以BC的中點(diǎn)A一定在直線y=x上，
聯(lián)立得

y=x y=-x-2

，解得A點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，-1）
根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式得到

p+q

2

=-1，即p+q=-2，
則f（x）=（x+p）（x+q）+2=x²+（p+q）x+pq+2為開(kāi)口向上的拋物線，且對(duì)稱(chēng)軸為x=-

p+q

2

=1，
因?yàn)閤²+2x+2≥1，f（2）=f（0）且當(dāng)x＞1時(shí)，函數(shù)為增函數(shù)，
所以由f（x²+2x+2）＜f（0），可得x²+2x+2＜2，
所以-2＜x＜0，
故答案為：（-2，0）．

點(diǎn)評(píng)：此題是一道綜合題，考查學(xué)生靈活運(yùn)用指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)，要求學(xué)生掌握反函數(shù)的性質(zhì)，會(huì)利用二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)解決實(shí)際問(wèn)題．