Question

已知函數．
（1）討論并證明函數f（x）在區(qū)間（0，+∞）的單調性；
（2）若對任意的x∈[1，+∞），f（mx）+mf（x）＜0恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

解：（1）函數f（x）在（0，+∞）上單調增
證明：任取0＜x₁＜x₂，則
f（x₁）-f（x₂）==，
∵0＜x₁＜x₂，
∴x₁-x₂＜0，x₁x₂＞0
∴
∴f（x₁）＜f（x₂）
所以函數f（x）在（0，+∞）上單調增
（2）原不等式等價于對任意的x∈[1，+∞）恒成立
整理得，對任意的x∈[1，+∞）恒成立
若m＞0，則左邊對應的函數，開口向上，故x∈[1，+∞）時，必有大于0的函數值
∴m＜0，且，
∴m＜0，且
∴m＜-1
分析：（1）利用單調性的定義，根據步驟：取值，作差，變形，定號下結論，即可得到結論；
（2）原不等式等價于對任意的x∈[1，+∞）恒成立，等價于對任意的x∈[1，+∞）恒成立，從而可得m＜0，且，進而可求實數m的取值范圍．
點評：本題重點考查函數的單調性，考查函數恒成立問題，依據單調性的定義，正確轉化是解題的關鍵．