Question

4．某同學在研究函數(shù)f（x）=$\frac{4}{|x|+2}$-1（x∈R）時，得出了下面4個結(jié)論：①等式f（-x）=f（x）在x∈R時恒成立；②函數(shù)f（x）在x∈R上的值域為（-1，1]；③曲線y=f（x）與g（x）=2^x-2僅有一個公共點；④若f（x）=$\frac{4}{|x|+2}$-1在區(qū)間[a，b]（a，b為整數(shù)）上的值域是[0，1]，則滿足條件的整數(shù)數(shù)對（a，b）共有5對．其中正確結(jié)論的序號有①②④（請將你認為正確的結(jié)論的序號都填上）．

Answer 1

分析 可以先研究函數(shù)的奇偶性，然后做出函數(shù)的圖象，據(jù)此求解．

解答 解：函數(shù)f（x）=$\frac{4}{|x|+2}$-1易知函數(shù)的定義域為R，且f（-x）=f（x），故函數(shù)為偶函數(shù)．故①正確；
當x＞0時，函數(shù)f（x）=$\frac{4}{|x|+2}$-1=$\frac{4}{x+2}-1$，該函數(shù)在（0，+∞）上減函數(shù)，且x=0時，f（x）=1；當x→+∞時，f（x）→-1．函數(shù)的值域為：（-1，1]，所以②正確；
結(jié)合奇偶性，作出f（x）的圖象如下：
易知函數(shù)的值域是（-1，1），故②正確；
曲線y=f（x）與g（x）=2^x-2，結(jié)合函數(shù)的圖象，可知x=0時，g（0）=$\frac{1}{4}$，僅有一個公共點不正確，所以③不正確；
若f（x）=$\frac{4}{|x|+2}$-1在區(qū)間[a，b]（a，b為整數(shù)）上的值域是[0，1]，則滿足條件的整數(shù)數(shù)對（a，b）共有5對．分別為（-2，0），（-2，1），（-2，2），（-1，2），（0，2）所以④正確．
故正確的命題是①②④．
故答案為：①②④．

點評 本題考查了函數(shù)的性質(zhì)．一般先研究定義域，然后判斷函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性等性質(zhì)作為突破口，有一些要結(jié)合函數(shù)的圖象加以分析，注意數(shù)形結(jié)合的思想的應用．